【題目】已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1﹣x2 .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象.
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào),直接寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍.(不必寫出演算過程)
【答案】
(1)解:1°因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以x=0時(shí),f(0)=0
2°設(shè)x<0,則﹣x>0,根據(jù)當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1﹣x2,得f(﹣x)=1﹣(﹣x)2=1﹣x2
∵f(x)為定義在R上的奇函數(shù)
∴f(x)=﹣f(﹣x)=x2﹣1
綜上:
(2)解:當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)圖象為開口向下拋物線的右側(cè),當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)圖象為開口向上拋物線的左側(cè),
并且f(0)=0,由此可得函數(shù)圖象如右圖
(3)解:根據(jù)(2)的函數(shù)圖象,可得當(dāng)[a,a+1](﹣∞,0)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+1]上是減函數(shù);
當(dāng)[a,a+1](0,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+1]上是增函數(shù).
解之得:a<﹣1或a>0
【解析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(0)=0,再設(shè)x<0,根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)得f(x)=﹣f(﹣x)=x2﹣1,最后綜合可得函數(shù)f(x)的表達(dá)式;(2)當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)圖象為開口向下拋物線的右側(cè),當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)圖象為開口向上拋物線的左側(cè),并且f(0)=0,由此可得函數(shù)圖象如圖;(3)對(duì)照(2)的函數(shù)圖象,可得當(dāng)[a,a+1](﹣∞,0)時(shí)或當(dāng)[a,a+1](0,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+1]上是單調(diào)函數(shù),解之即得a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇),還要掌握奇偶性與單調(diào)性的綜合(奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)對(duì)任意x都滿足f(x+1)=﹣f(x),且當(dāng)0≤x<1時(shí),f(x)=x,則函數(shù)g(x)=f(x)﹣ln|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線 上有一點(diǎn)(),點(diǎn)在軸上的射影恰好是雙曲線的右焦點(diǎn),過點(diǎn)作雙曲線兩條漸近線的平行線,與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為, ,若平行四邊形的面積為1,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),
(1)求a的值;
(2)試判斷f(x)在(﹣∞,+∞)的單調(diào)性,并請(qǐng)你用函數(shù)單調(diào)性的定義給予證明;
(3)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD所在的平面和平面互相垂直,等腰梯形中, , , , , 分別為的中點(diǎn), 為底面的重心.
(Ⅰ)求證: ∥平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xsinx,有下列四個(gè)結(jié)論: ①函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;
②存在常數(shù)T>0,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,恒有f(x+T)=f(x);
③對(duì)于任意給定的正數(shù)M,都存在實(shí)數(shù)x0 , 使得|f(x0)|≥M;
④函數(shù)f(x)在[0,π]上的最大值是 .
其中正確結(jié)論的序號(hào)是(請(qǐng)把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解答
(1)求證:函數(shù)y=x+ 有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0, ]上是減函數(shù),在[ ,+∞)上是增函數(shù).
(2)若f(x)= ,x∈[0,1],利用上述性質(zhì),求函數(shù)f(x)的值域;
(3)對(duì)于(2)中的函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)=﹣x﹣2a,若對(duì)任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1),求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解人們對(duì)于國(guó)家新頒布的“生育二胎放開”政策的熱度,現(xiàn)在某市進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了50人,他們年齡大點(diǎn)頻率分布及支持“生育二胎”人數(shù)如下表:
年齡 | ||||||
頻率 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
支持“生育二胎” | 4 | 5 | 12 | 8 | 2 | 1 |
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2乘2列聯(lián)表,并問是否有99%的把握認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)對(duì)“生育二胎放開”政策的支持度有差異:
(2)若對(duì)年齡在的被調(diào)查人中隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查,恰好這兩人都支持“生育二胎放開”的概率是多少?
參考數(shù)據(jù): , , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓E: (a>b>0),其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 倍,過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為2 .
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)過右焦點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓E于P,Q兩點(diǎn),在線段OF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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