分析 (Ⅰ)取BC的中點(diǎn)M,連接MF,ME,推導(dǎo)出MF⊥BD,ME⊥BD,由此能證明EF⊥BD.
(Ⅱ)以B為原點(diǎn),分別以\overrightarrow{BC}、\overrightarrow{BE}、\overrightarrow{BA}的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出存在一點(diǎn)G,且\frac{AG}{AE}=\frac{1}{2}時(shí),二面角D-BG-E的大小為\frac{π}{3}.
解答 證明:(Ⅰ)取BC的中點(diǎn)M,連接MF,ME,
∵AB⊥平面BCDE,MF∥AB,
∴MF⊥平面BCDE,又BD?平面BCDE,∴MF⊥BD.
在Rt△MBE與Rt△BED中,
∵\frac{MB}{BE}=\frac{BE}{ED}=\frac{\sqrt{2}}{2},∴Rt△MBE∽R(shí)t△BED.
∴∠BME=∠EBD,而∠BME+∠BEM=90°,
于是∠BEM+∠EBD=90°,∴ME⊥BD,
又∵M(jìn)F∩ME=M,∴BD⊥平面MEF,
又∵EF?平面MEF,∴EF⊥BD.…(5分)
解:(Ⅱ)∵AB⊥平面BCDE,四邊形BCDE為矩形,
∴以B為原點(diǎn),分別以\overrightarrow{BC}、\overrightarrow{BE}、\overrightarrow{BA}的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AG=λAE,依題意可得B(0,0,0),C(2,0,0),
D(2,\sqrt{2},0),A(0,0,2),E(0,\sqrt{2},0),F(xiàn)(1,0,1),
∴\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{AE}=(0,\sqrt{2}λ,2-2λ),\overrightarrow{BD}=(2,\sqrt{2},0),
設(shè)平面BGD的法向量為\overrightarrow{n}=(x,y,z),
則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BG}=\sqrt{2}λy+(2-2λ)z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=2x+\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.,取x=1,則\overrightarrow{n}=(1,-\sqrt{2},\frac{λ}{1-λ}),…(9分)
平面BGE的法向量為\overrightarrow{m}=(1,0,0),
∵二面角D-BG-E的大小為\frac{π}{3},
∴|cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>|=\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3+(\frac{λ}{1-λ})^{2}}}=\frac{1}{2},解得λ=\frac{1}{2}.
∴存在一點(diǎn)G,且\frac{AG}{AE}=\frac{1}{2}時(shí),二面角D-BG-E的大小為\frac{π}{3}.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查滿足條件點(diǎn)是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | -\frac{4}{5} | B. | -\frac{3}{5} | C. | \frac{3}{5} | D. | \frac{4}{5} |
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A. | \frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}=1 | B. | \frac{4{x}^{2}}{9}+y2=1 | C. | \frac{9{x}^{2}}{4}+3y2=1 | D. | x2+\frac{4{y}^{2}}{3}=1 |
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A. | \frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC} | B. | \frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC} | C. | \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC} | D. | \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} |
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A. | 16 | B. | 12 | C. | 10 | D. | 8 |
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A. | 2 | B. | -2 | C. | \frac{5}{4} | D. | -\frac{5}{4} |
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