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20.如圖所示,在四棱錐A-BCDE中,AB⊥平面BCDE,四邊形BCDE為矩形,F(xiàn)為AC的中點(diǎn),AB=BC=2,BE=2
(Ⅰ)證明:EF⊥BD;
(Ⅱ)在線段AE上是否存在一點(diǎn)G,使得二面角D-BG-E的大小為\frac{π}{3}?若存在,求\frac{AG}{AE}的值;若不存在,說明理由.

分析 (Ⅰ)取BC的中點(diǎn)M,連接MF,ME,推導(dǎo)出MF⊥BD,ME⊥BD,由此能證明EF⊥BD.
(Ⅱ)以B為原點(diǎn),分別以\overrightarrow{BC}、\overrightarrow{BE}\overrightarrow{BA}的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出存在一點(diǎn)G,且\frac{AG}{AE}=\frac{1}{2}時(shí),二面角D-BG-E的大小為\frac{π}{3}

解答 證明:(Ⅰ)取BC的中點(diǎn)M,連接MF,ME,
∵AB⊥平面BCDE,MF∥AB,
∴MF⊥平面BCDE,又BD?平面BCDE,∴MF⊥BD.
在Rt△MBE與Rt△BED中,
\frac{MB}{BE}=\frac{BE}{ED}=\frac{\sqrt{2}}{2},∴Rt△MBE∽R(shí)t△BED.
∴∠BME=∠EBD,而∠BME+∠BEM=90°,
于是∠BEM+∠EBD=90°,∴ME⊥BD,
又∵M(jìn)F∩ME=M,∴BD⊥平面MEF,
又∵EF?平面MEF,∴EF⊥BD.…(5分)
解:(Ⅱ)∵AB⊥平面BCDE,四邊形BCDE為矩形,
∴以B為原點(diǎn),分別以\overrightarrow{BC}、\overrightarrow{BE}、\overrightarrow{BA}的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AG=λAE,依題意可得B(0,0,0),C(2,0,0),
D(2,\sqrt{2},0),A(0,0,2),E(0,\sqrt{2},0),F(xiàn)(1,0,1),
\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BA}\overrightarrow{AE}=(0,\sqrt{2}λ,2-2λ),\overrightarrow{BD}=(2,\sqrt{2},0),
設(shè)平面BGD的法向量為\overrightarrow{n}=(x,y,z),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BG}=\sqrt{2}λy+(2-2λ)z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=2x+\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.,取x=1,則\overrightarrow{n}=(1,-\sqrt{2},\frac{λ}{1-λ}),…(9分)
平面BGE的法向量為\overrightarrow{m}=(1,0,0),
∵二面角D-BG-E的大小為\frac{π}{3},
∴|cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>|=\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3+(\frac{λ}{1-λ})^{2}}}=\frac{1}{2},解得λ=\frac{1}{2}
∴存在一點(diǎn)G,且\frac{AG}{AE}=\frac{1}{2}時(shí),二面角D-BG-E的大小為\frac{π}{3}.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查滿足條件點(diǎn)是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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