分析 (Ⅰ)取BC的中點(diǎn)M,連接MF,ME,推導(dǎo)出MF⊥BD,ME⊥BD,由此能證明EF⊥BD.
(Ⅱ)以B為原點(diǎn),分別以→BC、→BE、→BA的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出存在一點(diǎn)G,且AGAE=12時(shí),二面角D-BG-E的大小為π3.
解答 證明:(Ⅰ)取BC的中點(diǎn)M,連接MF,ME,
∵AB⊥平面BCDE,MF∥AB,
∴MF⊥平面BCDE,又BD?平面BCDE,∴MF⊥BD.
在Rt△MBE與Rt△BED中,
∵MBBE=BEED=√22,∴Rt△MBE∽R(shí)t△BED.
∴∠BME=∠EBD,而∠BME+∠BEM=90°,
于是∠BEM+∠EBD=90°,∴ME⊥BD,
又∵M(jìn)F∩ME=M,∴BD⊥平面MEF,
又∵EF?平面MEF,∴EF⊥BD.…(5分)
解:(Ⅱ)∵AB⊥平面BCDE,四邊形BCDE為矩形,
∴以B為原點(diǎn),分別以→BC、→BE、→BA的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AG=λAE,依題意可得B(0,0,0),C(2,0,0),
D(2,√2,0),A(0,0,2),E(0,√2,0),F(xiàn)(1,0,1),
∴→BG=→BA+→AG=→BA+λ→AE=(0,√2λ,2-2λ),→BD=(2,√2,0),
設(shè)平面BGD的法向量為→n=(x,y,z),
則{→n•→BG=√2λy+(2−2λ)z=0→n•→BD=2x+√2y=0,取x=1,則→n=(1,-√2,λ1−λ),…(9分)
平面BGE的法向量為→m=(1,0,0),
∵二面角D-BG-E的大小為π3,
∴|cos<→m,→n>|=|→m•→n||→m|•|→n|=1√3+(λ1−λ)2=12,解得λ=12.
∴存在一點(diǎn)G,且AGAE=12時(shí),二面角D-BG-E的大小為π3.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明,考查滿足條件點(diǎn)是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | -45 | B. | -35 | C. | 35 | D. | 45 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x236+y227=1 | B. | 4x29+y2=1 | C. | 9x24+3y2=1 | D. | x2+4y23=1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 25→AB+35→AC | B. | 35→AB+25→AC | C. | 34→AB+14→AC | D. | 23→AB+13→AC |
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A. | 16 | B. | 12 | C. | 10 | D. | 8 |
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A. | 2 | B. | -2 | C. | 54 | D. | −54 |
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