Question

13．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐C-DD₁E的體積；
（2）求證：D₁E⊥A₁D．

Answer 1

分析 （1）V${\;}_{C-D{D}_{1}E}$=V${\;}_{{D}_{1}-CDE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•D{D}_{1}$；
（2）連結(jié)AD₁，通過證明A₁D⊥平面AD₁E得出D₁E⊥A₁D．

解答 解（1）由長方體性質(zhì)可得，DD₁⊥平面DEC，
所以DD₁是三棱錐D₁-DCE的高，
∴三棱錐D₁-DCE的體積V=V${\;}_{{D}_{1}-CDE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•D{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$．
（2）連結(jié)AD₁，
因?yàn)锳₁ADD₁是正方形，所以AD₁⊥A₁D，
又AE⊥面ADD₁A₁，A₁D?面ADD₁A₁，
所以AE⊥A₁D，
又AD₁∩AE=A，AD₁，AE?平面AD₁E，
所以A₁D⊥平面AD₁E，
而D₁E?平面AD₁E，
所以D₁E⊥A₁D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．