Question

“

3

1 a + 1 b + 1 c

”稱為a，b，c三個正實數(shù)的“調(diào)和平均數(shù)”，若正數(shù)x，y滿足“x，y，xy的調(diào)和平均數(shù)為3”，則x+2y的最小值是（　�。�

• A、3
• B、5
• C、7
• D、8

Answer 1

考點：基本不等式

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：由調(diào)和平均數(shù)的定義，結(jié)合已知得到x=

y+1

y-1

，再由x＞0得到y(tǒng)＞1，把x=

y+1

y-1

代入x+2y，整理后利用基本不等式求最值．

解答： 解：由“調(diào)和平均數(shù)”定義知，
x，y，xy的調(diào)和平均數(shù)為

3

1 x + 1 y + 1 xy

=3，
整理得：x+y+1=xy，x=

y+1

y-1

，
∵x=

y+1

y-1

＞0，
∴y＞1．
則x+2y=

y+1

y-1

+2y=

y+1+2y2-2y

y-1

=

2y2-y+1

y-1

=

2(y-1)2+3(y-1)+2

y-1

=2(y-1)+

2

y-1

+3≥2

2(y-1)• 2 y-1

+3=7．
當且僅當2（y-1）=

2

y-1

，即y=2時上式等號成立．
∴x+2y的最小值是7．
故選：C．

點評：本題考查了基本不等式求最值，在利用調(diào)和平均數(shù)的定義結(jié)合已知得到x、y的關系后，關鍵在于整理變形，使得要求最小值的式子能利用基本不等式求解，是中檔題．