Question

12．已知直線y=2x是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線，點(diǎn)A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在雙曲線C上，直線AM與y軸相交于點(diǎn)P，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O．
（1）求雙曲線C的方程，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（用m，n表示）；
（2）設(shè)點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，直線AN與y軸相交于點(diǎn)Q，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得TP⊥TQ？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）若過點(diǎn)D（0，2）的直線l與雙曲線C交于R，S兩點(diǎn)，且|$\overrightarrow{OR}$+$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{RS}$|，試求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的漸近線方程，可得b=2a，由題意可得a=1，b=2，可得雙曲線的方程，求出直線AM的方程，可令x=0，求得P的坐標(biāo)；
（2）求得對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)，直線AN方程，令x=0，可得N的坐標(biāo)，假設(shè)存在T，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結(jié)合M在雙曲線上，化簡(jiǎn)整理，即可得到定點(diǎn)T；
（3）設(shè)出直線l的方程，代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由向量數(shù)量積的性質(zhì)，可得向量OR，OS的數(shù)量積為0，化簡(jiǎn)整理，解方程可得k的值，檢驗(yàn)判別式大于0成立，進(jìn)而得到直線l的方程．

解答 解：（1）雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得$\frac{a}$=2，a=1，可得b=2，
即有雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
又AM的方程為y=$\frac{n}{m-1}$（x-1），
令x=0，可得P（0，$\frac{n}{1-m}$）；
（2）點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為N（-m，n），
直線AN的方程為y=$\frac{n}{-m-1}$（x-1），
令x=0，可得Q（0，$\frac{n}{1+m}$），
假設(shè)x軸存在點(diǎn)T（t，0），使得TP⊥TQ．
即有k_TP•k_TQ=-1，
即為$\frac{\frac{n}{1-m}}{-t}$•$\frac{\frac{n}{1+m}}{-t}$=-1，
可得t²=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-1}$，
由（m，n）滿足雙曲線的方程，可得m²-$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，
即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-1}$=4，
可得t²=4，解得t=±2，
故存在點(diǎn)T（±2，0），使得TP⊥TQ；
（3）可設(shè)過點(diǎn)D（0，2）的直線l：y=kx+2，
代入雙曲線的方程可得（4-k²）x²-4kx-8=0，
即有△=16k²+32（4-k²）＞0，即k²＜8，
設(shè)R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{4k}{4-{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{8}{4-{k}^{2}}$，
由|$\overrightarrow{OR}$+$\overrightarrow{OS}$|=|$\overrightarrow{RS}$|=|$\overrightarrow{OS}$-$\overrightarrow{OR}$|，
兩邊平方可得$\overrightarrow{OS}$•$\overrightarrow{OR}$=0，
即有x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
即為（1+k²）•（-$\frac{8}{4-{k}^{2}}$）+2k（$\frac{4k}{4-{k}^{2}}$）+4=0，
化簡(jiǎn)可得k²=2，檢驗(yàn)判別式大于0成立，
即有k=±$\sqrt{2}$，
則所求直線的方程為y=±$\sqrt{2}$x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查對(duì)稱思想的運(yùn)用，以及兩直線垂直的條件，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．