Question

5．三棱錐P-ABC，AB=BC=$\sqrt{15}$，AC=6，PC垂直于平面ABC，PC=2，則該三棱錐外接球的表面積$\frac{83}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得出△ABC的外接圓的半徑，利用勾股定理得出外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．

解答 解：∵AB=BC=$\sqrt{15}$，AC=6，
∴cosC=$\frac{3}{\sqrt{15}}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}}$，
∴△ABC的外接圓的半徑=$\frac{\sqrt{15}}{2•\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{4}$，
設(shè)三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離為d，
則R²=d²+（$\frac{5\sqrt{6}}{4}$）²=（2-d）²+（$\frac{5\sqrt{6}}{4}$）²，
∴該三棱錐的外接球半徑為R²=$\frac{83}{8}$，表面積為：4πR²=4π×$\frac{83}{8}$=$\frac{83}{2}$π，
故答案為：$\frac{83}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，考查三棱錐的外接球表面積，正確求出三棱錐的外接球半徑是關(guān)鍵，屬于中檔題．