已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)Q（4，0）且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的
對稱點(diǎn)為A1．求證：直線A1B過x軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）；（2）定點(diǎn)（1，0）．

試題分析：（1）求橢圓C的方程，由題意，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可求得，再根據(jù)橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．由等邊三角形的性質(zhì)，可求得和的關(guān)系式，可求得，進(jìn)而求得，則橢圓的方程可得；（2）求證：直線過軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．這是過定點(diǎn)問題，這類題的處理方法有兩種，一．可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)．二．從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān)．本題可設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消去，設(shè)出，，則可利用韋達(dá)定理求得和的表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出定點(diǎn)，利用求得，從而得證．
試題解析：（1）橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距，又因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，所以，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；·           ５分

（2）設(shè)直線：與聯(lián)立并消去得：
.
記，，，
.            8分
由A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，得，根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為（，0），
得，即.
所以
即定點(diǎn)（1，0）.     13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知△的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，且所在直線的斜率之積等于．
（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為(不重合)， 試問：直線與軸的交點(diǎn)是否是定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)，若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，橢圓的的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4，
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M（， 0），求證為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線：上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點(diǎn)．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過(1)中的軌跡上的定點(diǎn)作兩條直線分別與軌跡相交于，兩點(diǎn)．試探究：當(dāng)直線，的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線：.
（1）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；
（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為直角，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓E的中心是原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F(2，0)，過x軸上一點(diǎn)A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè),過點(diǎn)P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)M,試問M,F,Q是否共線，若共線請證明；反之說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為且與雙曲線：有共同焦點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點(diǎn)作的切線，求與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過橢圓上的一點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，，連結(jié)交于點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，離心率為.
（Ⅰ）若，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，分別為線段的中點(diǎn). 若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線方程2x2－y2＝2.
(1)求以A(2,1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程；
(2)過點(diǎn)(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于Q1，Q2兩點(diǎn)，且Q1，Q2兩點(diǎn)的中點(diǎn)為(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊答案