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若函數f（x）=|x+3|+a|x-1|（x∈R）有最小值，則實數a的取值范圍是（　　）
分析：通過分類討論去掉絕對值符號，利用一次函數的單調性即可得出．
解答：解：f（x）=
(1+a)x+3-a，x≥1
(1-a)x+3+a，-3＜x＜1
-(1+a)x-3+a，x≤-3
，
當a＞1時，函數y=（1+a）x+3-a（x≥1）單調遞增；函數y=（1-a）x+（3+a），（-3＜x＜1）與函數y=-（1+a）x-3+a，（x≤-3）單調遞減．可知：此時存在最小值．
當a＜-1時，函數y=（1+a）x+3-a（x≥1）單調遞減；函數y=（1-a）x+（3+a），（-3＜x＜1）與函數y=-（1+a）x-3+a，（x≤-3）單調遞增．可知：此時不存在最小值．
當-1＜a＜1時，函數y=（1+a）x+3-a（x≥1）單調遞增；函數y=（1-a）x+（3+a），（-3＜x＜1）單調遞增；函數y=-（1+a）x-3+a，（x≤-3）單調遞減．可知：此時存在最小值．
當a=1時，存在最小值．當a=-1時，存在最小值．
綜上可知：當a≥-1時，函數f（x）存在最小值．
故選C．
點評：本題考查了含絕對值符號的函數單調性問題、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）（x∈R）為奇函數，且存在反函數f-1（x）（與f（x）不同），F(x)=
2f(x)-2f-1(x)
2f(x)+2f-1(x)
，則下列關于函數F（x）的奇偶性的說法中正確的是（　�。�
A、F（x）是奇函數非偶函數
B、F（x）是偶函數非奇函數
C、F（x）既是奇函數又是偶函數
D、F（x）既非奇函數又非偶函數

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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