Question

【題目】已知函數(shù)，其圖象與軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若將的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求當(dāng)取得最小值時(shí)，在上的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

【答案】（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.

【解析】

（1）利用兩角差的正弦公式，降冪公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)其圖象與軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，得出周期，利用周期公式得出，即可得出該函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)平移變換得出，再由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的最小值，進(jìn)而得出，利用整體法結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.

解：（1）

由已知函數(shù)的周期，，

∴.

（2）將的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到的圖象

∴，

∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

∴，即

∴，

∴，

∵，∴當(dāng)，取最小值，此時(shí)最小值為

此時(shí)，.

令，則

當(dāng)或，即當(dāng)或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

∴在上的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.