Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點P關于原點的對稱點Q的軌跡恰好是函數(shù)y=f（x）的圖象．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）當0≤x＜1時總有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設在所求函數(shù)圖象上任意一點為P（x，y），則點（-x，-y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，代入函數(shù)y=f（x）的解析式，化簡整理可求出所求．
（2）要使當0≤x＜1時總有f（x）+g（x）≥m成立，只需將m分離出來對0≤x＜1恒成立即m≤(loga

1+x

1-x

)min，然后求出(loga

1+x

1-x

)min=loga1=0，從而求出m的范圍．

解答：解：（1）設函數(shù)y=g（x）的圖象上任意一點為P（x，y），則點（-x，-y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上
∴-y=log_a（-x+1）即y=loga

1

1-x

∴g(x)=loga

1

1-x

；
（2）f(x)+g(x)≥m⇒loga(x+1)+loga

1

1-x

≥m⇒loga

x+1

1-x

≥mloga

x+1

1-x

≥m對0≤x＜1恒成立即m≤(loga

1+x

1-x

)min
當0≤x＜1時，

x+1

1-x

=-1+

2

1-x

∈[1，+∞)
又a＞1
∴(loga

1+x

1-x

)min=loga1=0
∴m≤0．

點評：本題主要考查了函數(shù)最值的應用，以及函數(shù)解析式的求解及常用方法，一般在所求曲線上任取一點，求出對稱點代入已知曲線從而求出所求曲線解析式，求恒成立問題常常將參數(shù)進行分離．