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8.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到雙曲線x23-y2=1的漸近線的距離為l,過焦點F且斜率為k的直線與拋物線C交于A,B兩點,若AF=2FB,則|k|=(  )
A.223B.22C.24D.13

分析 先根據(jù)拋物線C的焦點F到雙曲線的漸近線距離求出p的值,再利用直線方程與拋物線C的方程聯(lián)立,消去x,求出y的值,利用AF=2FB,得出yA與yB的關系式,從而求出k的值.

解答 解:拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F(p2,0),
且F到雙曲線x23-y2=1的漸近線y=±33x的距離為1,
即漸近線的方程為3x-3y=0,
∴d=|p23|32+32=32p23=1,
解得p=4;即焦點坐標F(2,0),
∴過焦點F斜率為k的直線為y=k(x-2),
與拋物線C:y2=8x聯(lián)立,得:
{y=kx2y2=8x,
消去x,得y2=8(yk+2),
整理,得ky2-8y-16k=0,
解得y=4±4k2+1k
又∵AF=2FB,
∴(4-xA,-yA)=2(xB-4,yB),
∴yA=-2yB
當k>0時,yA>0,yB<0,
4+4k2+1k=2•(-44k2+1k),
解得k=22;
當k<0時,yA<0,yB>0,
∴-4+4k2+1k=2•44k2+1k,
解得k=-22
∴|k|=22
故選:B.

點評 本題考查了雙曲線與拋物線的綜合應用問題,也考查了直線與圓錐曲線的綜合應用問題,考查學生的轉化能力,綜合性較強,有一定的難度.

練習冊系列答案
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(Ⅱ)當a<0時,若函數(shù)f′(x)與g(x)的圖象都與直線l相切于點P(x0,y0),求實數(shù)x0的值;
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