Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+2

3

sin(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)-cos2x-

3

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-

π

12

，

25

36

π]上的最大值和最小值并指出此時(shí)相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f（x）中的一三項(xiàng)結(jié)合利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式把余弦化為正弦后利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡合并后，把f（x）化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用周期公式T=

2π

λ

求出函數(shù)的周期和利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出滿足條件的x的范圍即可；
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍求出（Ⅰ）中化簡的關(guān)系式的角2x-

π

6

的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象求出函數(shù)的最大值和最小值及此時(shí)相應(yīng)的x的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin2x+2

3

sin(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)-cos2x-

3

=2

3

sin2(x+

π

4

)-cos2x-

3

=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
所以T=

2π

2

=π．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

(k∈Z)
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π，單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有f(x)=2sin(2x-

π

6

)．
因?yàn)?span id="f9vlrtd" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x∈[-

π

12

，

25

36

π]，
所以2x-

π

6

∈[-

π

3

，

11

9

π]．
因?yàn)?span id="bhhtkar" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">sin(-

π

3

)=sin

4

3

π＜sin

11

9

π，
所以當(dāng)x=-

π

12

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值-

3

；
當(dāng)x=

π

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式、兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的周期公式及單調(diào)區(qū)間，是一道中檔題．