Question

已知銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量

m

=(sinB，

3

ac)，

n

=(b 2-a2-c2，cosB)，且

m

⊥

n．

（1）求角B的大小；
（2）求sin(B-50°)•[1+

3

tan(B+10°)]的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

m

•

n

=0，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式與余弦定理化簡，可得accosB（

3

-2sinB）=0．再由△ABC是銳角三角形，算出sinB=

3

2

，從而可得B=60°；
（2）由（1）將B=60°代入，可得原式=sin10°（1+

3

tan70°）．再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式與輔助角公式，化簡得1+

3

tan70°=

2cos10°

cos70°

，代入原式并利用二倍角的正弦公式加以計(jì)算，可得答案．

解答：解：（1）∵

m

=(sinB，

3

ac)，

n

=(b 2-a2-c2，cosB)，且

m

⊥

n．

∴

m

•

n

=sinB（b²-a²-c²）+

3

accosB=0，
又∵△ABC中，根據(jù)余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，可得b²-a²-c²=-2accosB，
∴-2acsinBcosB+

3

accosB=0，即accosB（

3

-2sinB）=0．
∵銳角△ABC中，accosB＞0，
∴

3

-2sinB=0，可得sinB=

3

2

，銳角B=60°；
（2）sin(B-50°)•[1+

3

tan(B+10°)]=sin10°（1+

3

tan70°）
∵1+

3

tan70°=1+

3

•

sin70°

cos70°

=

3 sin70°+cos70°

cos70°

=

2sin(70°+30°)

cos70°

=

2sin100°

cos70°

=

2sin(90°+10°)

cos70°

=

2cos10°

cos70°

，
∴sin10°（1+

3

tan70°）=

2sin10°cos10°

cos70°

=

sin20°

cos70°

=

sin(90°-70°)

cos70°

=

cos70°

cos70°

=1．
因此，sin(B-50°)•[1+

3

tan(B+10°)]的值為1．

點(diǎn)評：本題以向量數(shù)量積運(yùn)算為載體，著重考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式與輔助角公式，考查了利用余弦定理解三角形的知識，屬于中檔題．