(2012•菏澤一模)某學校為調查了解學生體能狀況,決定對高三學生進行一次體育達標測試,具體測試項目有100米跑、立定跳遠、擲實心球.測試規(guī)定如下:
①三個測試項目中有兩項測試成績合格即可認定為體育達標;
②測試時要求考生先從三個項目中隨機抽取兩個進行測試,若抽取的兩個項目測試都合格或都不合格時,不再參加第三個項目的測試;若抽取的兩個項目只有一項合格,則必須參加第三項測試.
已知甲同學跑、跳、擲三個項目測試合格的概率分別是
1
2
、
2
3
、
3
4
,各項測試時間間隔恰當,每次測試互不影響.
(Ⅰ)求甲同學恰好先抽取跳、擲兩個項目進行測試的概率;
(Ⅱ)求甲同學經過兩個項目測試就能達標的概率;
(Ⅲ)若甲按規(guī)定完成測試,參加測試項目個數(shù)為X,求X的分布列和期望.
分析:(Ⅰ)甲同學從三個項目中隨機抽取兩項,從而可求恰好先抽取跳、擲兩個項目進行測試的概率;
(Ⅱ)根據(jù)抽取的兩個項目測試都合格或都不合格,可求甲同學經過兩個項目測試就能達標的概率;
(Ⅲ)確定X的取值是2,3,求出相應的概率,即可求得X的分布列和期望.
解答:解:(Ⅰ)甲同學從三個項目中隨機抽取兩項,共有
C
2
3
=3種方法
∴恰好先抽取跳、擲兩個項目進行測試的概率為P1=
1
3
;
(Ⅱ)甲同學經過兩個項目測試就能達標的概率為P2=
1
3
×
1
2
×
2
3
+
1
3
×
1
2
×
3
4
+
1
3
×
2
3
×
3
4
=
29
72

(Ⅲ)X的取值是2,3
X=2時,甲同學隨機抽取的兩項測試全部合格或者全部合格,
則P(X=2)=
1
3
1
2
×
2
3
+
1
2
×
3
4
+
2
3
×
3
4
)+
1
3
1
2
×
1
3
+
1
2
×
1
4
+
1
3
×
1
4
)=
19
36

X=3時,P(X=3)=1-P(X=2)=
17
36
,
∴X的分布列為
 X  2  3
 P  
19
36
 
17
36
∴EX=2×
19
36
+3×
17
36
=
89
36
點評:本題考查概率知識,考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望,確定變量的取值,正確求概率是關鍵.
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