分析 (1)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),運(yùn)用直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理,可得所求軌跡方程,注意去除y軸上的點(diǎn);
(2)設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),令直線PE:y-32=k(x-1),聯(lián)立橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理求得E的坐標(biāo),同理將k換為-k,可得F的坐標(biāo),再由直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理,即可得到定值.
解答 解:(1)令C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
則直線AC的斜率k1=y+√3x,直線BC的斜率k2=y−√3x,
因?yàn)閮芍本€的斜率之積為−34,
所以有y−√3x•y+√3x=−34,
化簡(jiǎn)得到x24+y23=1(x≠0),
所以軌跡M表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,且除去(0,-√3),(0,√3)兩點(diǎn);
(2)由題意曲線M為x24+y23=1(x≠0),點(diǎn)P(1,32),
設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),令直線PE:y-32=k(x-1),聯(lián)立橢圓方程,
得(3+4k2)x2+8k(32-k)x+4(32-k)2-12=0,
則x1xP=4k2−12k−33+4k2,故x1=4k2−12k−33+4k2,
同理x2=4k2+12k−33+4k2,
kEF=y2−y1x2−x1=−k(x2−1)+32−[k(x1−1)+32]x2−x1
=−k(x2+x1)+2kx2−x1=−k•(8k2−6)+2k(3+4k2)24k=12,
故直線EF斜率為為定值12.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,注意運(yùn)用直線的斜率公式,考查直線的斜率是否為定值的求法,注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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