Processing math: 100%
9.已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(0,-3),(0,3),且AC,BC所在直線的斜率之積等于34
(1)求頂點(diǎn)C的軌跡M的方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P(1,t)為曲線M上點(diǎn),且點(diǎn)P為第一象限點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作兩條直線與曲線M交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),直線PE,PF斜率互為相反數(shù),則直線EF斜率是否為定值,若是,求出定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),運(yùn)用直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理,可得所求軌跡方程,注意去除y軸上的點(diǎn);
(2)設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),令直線PE:y-32=k(x-1),聯(lián)立橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理求得E的坐標(biāo),同理將k換為-k,可得F的坐標(biāo),再由直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理,即可得到定值.

解答 解:(1)令C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
則直線AC的斜率k1=y+3x,直線BC的斜率k2=y3x,
因?yàn)閮芍本€的斜率之積為34,
所以有y3xy+3x=34,
化簡(jiǎn)得到x24+y23=1x0
所以軌跡M表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,且除去(0,-3),(0,3)兩點(diǎn);
(2)由題意曲線M為x24+y23=1(x≠0),點(diǎn)P(1,32),
設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),令直線PE:y-32=k(x-1),聯(lián)立橢圓方程,
得(3+4k2)x2+8k(32-k)x+4(32-k)2-12=0,
則x1xP=4k212k33+4k2,故x1=4k212k33+4k2
同理x2=4k2+12k33+4k2,
kEF=y2y1x2x1=kx21+32[kx11+32]x2x1
=kx2+x1+2kx2x1=k8k26+2k3+4k224k=12,
故直線EF斜率為為定值12

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,注意運(yùn)用直線的斜率公式,考查直線的斜率是否為定值的求法,注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

9.已知i為虛數(shù)單位,若z(3+4i)=5+12ii,則|z|=( �。�
A.125B.135C.512D.513

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.已知二次函數(shù)g(x)=x2-2mx+1(m>0)在區(qū)間[0,3]上有最大值4.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)設(shè)f(x)=gx2xx.若f(2x)-k•2x≤0在x∈[-3,3]時(shí)恒成立,求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

17.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1ab0,不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l:y=kx+m(k>0)與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A、B,直線OA,AB,OB的斜率依次構(gòu)成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求a,b,k的關(guān)系式;
(Ⅱ)若離心率e=12|AB|=7|m+1m|,當(dāng)m為何值時(shí),橢圓的焦距取得最小值?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為22,且斜率為3的直線l過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)及點(diǎn)(0,-23).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知一直線m過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F,交橢圓于點(diǎn)P、Q,若直線m與兩坐標(biāo)軸都不垂直,點(diǎn)M在x軸上,且使MF為∠PMQ的一條角平分線,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

14.定義在(0,+∞)上函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x,y∈(0,+∞),都有xyf(xy)=xf(x)+yf(y),記數(shù)列an=f(2n),有以下命題:
①f(1)=0;
②a1=a2;
③令函數(shù)g(x)=xf(x),則gx+g1x=0;
④令數(shù)列bn=2n•an,則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.
其中真命題的序號(hào)為①②③.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.袋中裝有5只大小相同的球,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,現(xiàn)從該袋中隨機(jī)地取出3只,被取出的球
中最大的號(hào)碼為ξ,則Eξ=92

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

18.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為12,點(diǎn)A,B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),且|AB|=7
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)橢圓C的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F點(diǎn)的兩條互相垂直的直線l1、l2,直線l1與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),直線l2與直線x=4交于T點(diǎn),求證:線段PQ的中點(diǎn)在直線OT上.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

19.設(shè)區(qū)域Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},區(qū)域A={(x,y)|y≤x,(x,y)∈Ω},在區(qū)域Ω中隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則該點(diǎn)在A中的概率23

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案