已知函數(shù),,
⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑵記函數(shù),當時,上有且只有一個極值點,求實數(shù)的取值范圍;
⑶記函數(shù),證明:存在一條過原點的直線的圖象有兩個切點
(1)當時,為單調(diào)增區(qū)間,當時,為單調(diào)減區(qū)間, 為單調(diào)增區(qū)間.
(2)
(3)在第二問的基礎(chǔ)上,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義來證明。

試題分析:(1)因為,
①若,則,上為增函數(shù),2分 ②若,令,得,
時,;當時,
所以為單調(diào)減區(qū)間,為單調(diào)增區(qū)間. 綜上可得,當時,為單調(diào)增區(qū)間,
時,為單調(diào)減區(qū)間, 為單調(diào)增區(qū)間.  4分
(2)時,,
,  5分
上有且只有一個極值點,即上有且只有一個根且不為重根,
,
(i),,滿足題意;…… 6分
(ii)時,,即;… 7分
(iii)時,,得,故; 綜上得:上有且只有一個極值點時,. ………8分注:本題也可分離變量求得.
(3)證明:由(1)可知:
(i)若,則,上為單調(diào)增函數(shù),
所以直線 的圖象不可能有兩個切點,不合題意. 9分
(ⅱ)若,處取得極值
,時,由圖象知不可能有兩個切點.10分
,設(shè)圖象與軸的兩個交點的橫坐標為(不妨設(shè)),
則直線的圖象有兩個切點即為直線的切點.,
設(shè)切點分別為,則,且
,,
   ① ,    ② ,   ③ ,
①-②得:,
由③中的代入上式可得:,即,12分
,則,令,因為,,故存在,使得
即存在一條過原點的直線的圖象有兩個切點.14分
點評:主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用,屬于難度題。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知 ().
(1)當時,判斷在定義域上的單調(diào)性;
(2)若上的最小值為,求的值;
(3)若上恒成立,試求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù).
(Ⅰ)若時,,求的最小值;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的通項,證明:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)圖像上點處的切線與直線平行(其中),     
(I)求函數(shù)的解析式;
(II)求函數(shù)上的最小值;
(III)對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知函數(shù)y=f(x)(x∈(0,2))的圖象是如圖所示的圓C的一段圓。F(xiàn)給出如下命題:

;②;③為減函數(shù);④若,則a+b=2.
其中所有正確命題的序號為    

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當時,,且g(-3)=0,則不等式的解集是      ( )
A.(-3,0)∪(3,+∞)B. (-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

,則等于(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù),,().
(1)求函數(shù)的極值;
(2)已知,函數(shù), ,判斷并證明的單調(diào)性;
(3)設(shè),試比較,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知的導(dǎo)函數(shù),則得圖像是(   )

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