Question

已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若，．

（1）求；

（2）若數(shù)列{Mn}滿足條件： ，當(dāng)時(shí)，－，其中數(shù)列單調(diào)遞增，且，．

①試找出一組，，使得；

②證明：對(duì)于數(shù)列，一定存在數(shù)列，使得數(shù)列中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的平方．

Answer 1

（1）（2）①，②詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）求等比數(shù)列前n項(xiàng)和，一般利用待定系數(shù)法，即求出首項(xiàng)及公差即可：由，，得，解得，所以（2）①新定義問(wèn)題，解題思路就是按定義歸納轉(zhuǎn)化條件：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607419573466072_DA/SYS201503120607419573466072_DA.009.png">，依次設(shè)驗(yàn)證是否有解，是第一組滿足題意，②由①知，，，則，，，本題也是在歸納基礎(chǔ)上探求解法：一般的取，此時(shí)，，則＝－＝，所以為一整數(shù)平方．

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，

由，，得， 2分

解得，

所以 4分

（2）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607419573466072_DA/SYS201503120607419573466072_DA.009.png">，

若，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607419573466072_DA/SYS201503120607419573466072_DA.013.png">，

所以，，此方程無(wú)整數(shù)解； 6分

若，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607419573466072_DA/SYS201503120607419573466072_DA.013.png">，

所以，，此方程無(wú)整數(shù)解； 8分

若，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607419573466072_DA/SYS201503120607419573466072_DA.013.png">，

所以，，解得，

所以，滿足題意 10分

②由①知，，，則，，，

一般的取， 13分

此時(shí)，，

則＝－＝，

所以為一整數(shù)平方．

因此存在數(shù)列，使得數(shù)列中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的平方． 16分

考點(diǎn)：求等差數(shù)列和項(xiàng)，歸納探求新定義問(wèn)題