Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
（1）求證：平面ACC₁⊥平面BCC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的判定定理即可證明；
（2）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明．

解答：證明：（1）∵在△ABC中，AC=3，AB=5，BC=4，∴AC²+BC²=AB²，∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
又在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴AC⊥CC₁．
且BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁．
而AC?平面ACC₁，
∴平面ACC₁⊥平面BCC₁．
（2）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連接DE，
∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．

點(diǎn)評：熟練掌握面面垂直、線面平行的判定定理和性質(zhì)定理及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．