Question

對于函數(shù)f（x），若f（x₀）=x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的“不動點(diǎn)”；若f（f（x₀））=x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”．如果函數(shù)f（x）=x²+a（a∈R）的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動點(diǎn)”，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，

  1

  4

  ]
• B、（-

  3

  4

  ，+∞）
• C、（-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ]
• D、[-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：x₀為函數(shù)f（x）的“不動點(diǎn)”，則方程f（x）=x，即x²+a-x=0有實(shí)根，故△=1-4a≥0，得a≤

1

4

，
由方程f（f（x））=x，化為：（x²+a）²+a=x，即（x²+a）²-x²+x²+a=x，利用平方差公式分解因式得，（x²+a-x）（x²+x+a+1）=0，
由函數(shù)f（x）=x²+a（a∈R）的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動點(diǎn)”，得方程x²+x+a+1=0無實(shí)數(shù)根，再解出a的范圍．

解答：解：x₀為函數(shù)f（x）的“不動點(diǎn)”，則方程f（x）=x，即x²+a-x=0有實(shí)根，故△=1-4a≥0，∴a≤

1

4

，
如果“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動點(diǎn)”，則上述方程的根x₀為方程f（f（x））=x，即x²+a=x的實(shí)根，
方程f（f（x））=x可化為：（x²+a）²+a=x，即（x²+a）²-x²+x²+a=x，利用平方差公式分解因式得，
∴（x²+a+x）（x²+a-x）+（x²+a-x）=0，∴（x²+a-x）（x²+x+a+1）=0，
∵函數(shù)f（x）=x²+a（a∈R）的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動點(diǎn)”，∴方程x²+x+a+1=0無實(shí)數(shù)根，
∴1-4（a+1）＜0，∴a＞-

3

4

，
綜上，-

3

4

＜a≤

1

4

，
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查對新概念的理解和運(yùn)用的能力，同時考查了二次方程根的相關(guān)知識．