Question

【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點為原點，極軸為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）在（1）中，設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，設(shè)曲線上任意一點為，當(dāng)點到直線的距離取最大值時，求此時點的直角坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

（1）由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可將直線的參數(shù)方程化為普通方程；

（2）利用伸縮變換求得曲線的普通方程，進而可得出曲線的參數(shù)方程，設(shè)點，利用點到直線的距離公式結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)的有界性可求得點到直線的距離的最大值，并求出對應(yīng)的點的坐標(biāo).

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為，由，

所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為.

在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)得，

所以，直線的普通方程為；

（2）由伸縮變換得帶入圓的方程得，

化簡得曲線，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），

設(shè)點，

點到直線距離為：

，

，則，所以，當(dāng)時，即當(dāng)時，

取最大值，即，

此時，點的坐標(biāo)為.