已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
3
2
，直線y=x+
2
與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，求證：2m-k為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由直線y=x+
2
與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切，求出b，利用離心率及a2=b2+c2求出a，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后解出P點(diǎn)坐標(biāo)，兩直線方程聯(lián)立解出M點(diǎn)坐標(biāo)，由D，P，N三點(diǎn)共線解出N點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率得到MN的斜率m，代入2m-k化簡整理即可得到2m-k為定值．
解答： （1）解：∵直線y=x+
2
與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切，
∴
|
2
|
2
=b，
∴b=1，
∵e=
c
a
=
3
2
，∴
a2-b2
a2
=
3
4
，
∴a=2，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1；
（2）證明：∵B（2，0），P不為橢圓頂點(diǎn)，則可設(shè)直線BP的方程為y=k（x-2）（k≠0，k≠±
1
2
）．
代入橢圓方程，可得（4k2+1）x2-16k2x+16k2-4=0．
∴xP+2=
16k2
4k2+1
，
∴xP=
8k2-2
4k2+1
，
∴yP=-
4k
4k2+1
．
所以P（
8k2-2
4k2+1
，-
4k
4k2+1
）．
又直線AD的方程為y=
1
2
x+1．
聯(lián)立
y=k(x-2)
y=
1
2
x+1
，解得M（
4k+2
2k-1
，
4k
2k-1
）．
由三點(diǎn)D（0，1），P（
8k2-2
4k2+1
，-
4k
4k2+1
），N（x，0）共線，
得
-
4k
4k2+1
-1
8k2-2
4k2+1
-0
=
0-1
x-0
，所以N（
4k-2
2k+1
，0）．
∴MN的斜率為m=
4k
2k-1
-0
4k+2
2k-1
-
4k-2
2k+1
=
2k+1
4
．
則2m-k=
2k+1
2
-k=
1
2
．
∴2m-k為定值
1
2
．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了二次方程中根與系數(shù)關(guān)系，考查了由兩點(diǎn)求斜率的公式，是中高檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在半徑為2的圓內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)A，以點(diǎn)A為中點(diǎn)做一條弦PQ，求弦PQ長超過圓內(nèi)接正三角形的邊長概率是多少（　�。�
A、
2
3
B、
1
2
C、
1
4
D、
1
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科學(xué)生做）已知點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(
1
2
)x的圖象上．
（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)an=n(n∈N*)，過點(diǎn)An（an+2，0），Bn（0，（n+2）bn+1）的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為cn，試求最小的實(shí)數(shù)t，使cn≤t對一切正整數(shù)n恒成立；
（3）對（2）中的數(shù)列{an}，對每個(gè)正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入3k-1個(gè)3，得到一個(gè)新的數(shù)列{dn}，設(shè)Sn是數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和，試探究2014是否是數(shù)列{Sn}中的某一項(xiàng)，寫出你探究得到的結(jié)論并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在一條筆直的工藝流水線上有n個(gè)工作臺(tái)，將工藝流水線用如圖所示的數(shù)軸表示，各工作臺(tái)的坐標(biāo)分別為x1，x2，…，xn，每個(gè)工作臺(tái)上有若干名工人．現(xiàn)要在流水線上建一個(gè)零件供應(yīng)站，使得各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和最短．

（Ⅰ）若n=2，每個(gè)工作臺(tái)上只有一名工人，試確定供應(yīng)站的位置；
（Ⅱ）若n=5，工作臺(tái)從左到右的人數(shù)依次為3，2，1，2，2，試確定供應(yīng)站的位置，并求所有工人到供應(yīng)站的距離之和的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面xoy中，不等式x2+y2≤4確定的平面區(qū)域?yàn)閁，不等式組
x-y≥0
x+y≥0
確定的平面區(qū)域?yàn)閂．
（Ⅰ）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域U中任取3個(gè)“整點(diǎn)”，求這些“整點(diǎn)”恰好有兩個(gè)“整點(diǎn)”落在區(qū)域V中的概率；
（Ⅱ）在區(qū)域U中每次任取一個(gè)點(diǎn)，若所取的點(diǎn)落在區(qū)域V中，稱試驗(yàn)成功，否則稱試驗(yàn)失敗．現(xiàn)進(jìn)行取點(diǎn)試驗(yàn)，到成功了4次為止，求在此之前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓
x2
4
+
y2
b2
=1（b＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)為（-c，0），其右頂點(diǎn)關(guān)于直線x-y+4=0的對稱點(diǎn)在直線x=-
4
c
上，
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交直線x=-
4
c
于點(diǎn)C，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且
OA
+
OC
=2
OB
，求△OAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則AM＜1的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，以下四個(gè)命題：
（1）BM與ED平行；
（2）CN與BE是異面直線；
（3）CN與BM成60°；
（4）CN與AF垂直．
其中正確的有
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC外接圓半徑等于1，其圓心O滿足
AO
=
1
2
(
AB
+
AC
)，|
AO
|=|
AC
|，則向量
BA
在
BC
方向上的投影等于（　　）
A、-
3
2
B、
3
2
C、
3
2
D、3

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同步練習(xí)冊答案