Question

已知口袋中有大小相同的n個白球和m個紅球，且2≤n≤m，從袋中任意取出兩個球．
（Ⅰ）當n=3，m=4時，求取出的兩個球中至少有一個紅球的概率；
（Ⅱ）設取出的兩球都是紅球的概率為p₁，取出的兩球恰是1紅1白的概率為p₂，且p₁=2p₂，求證：m=4n+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出取出的兩個球中恰有一個紅球的概率，再加上取出的兩個球中恰有兩個紅球的概率，即為所求．
（Ⅱ）由已知得p1=

C 2 m

C 2 n+m

，p2=

C 1 m C 1 n

C 2 n+m

，p₁=2p₂，可得

C

2 m

=2

C

1 m

C

1 n

，化簡即得所證．

解答：解：（Ⅰ）在取出的兩個球中恰有一個紅球的概率為 P1=

C 1 4 C 1 3

C 2 7

=

4

7

，
在取出的兩個球中恰有兩個紅球的概率為，P2=

C 2 4

C 2 7

=

2

7

，
所以取出的兩個球中至少有一個紅球的概率為

4

7

+

2

7

=

6

7

． （6分）
（Ⅱ）由已知得p1=

C 2 m

C 2 n+m

，p2=

C 1 m C 1 n

C 2 n+m

，又p₁=2p₂，
∴

C

2 m

=2

C

1 m

C

1 n

（10分）
∴

m(m-1)

2

=2mn，即m²-m-4mn=0．
則m=4n+1．                        （12分）

點評：本小題主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率，考查方程的思想以及運用概率的知識解決實際問題的能力．