Question

18．已知直線方程為（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（1）證明：直線恒過定點(diǎn)；
（2）m為何值時，點(diǎn)Q（3，4）到直線的距離最大，最大值為多少？
（3）若直線分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值及此時直線的方程．

Answer 1

分析 （1）直線方程按m集項(xiàng)，方程恒成立，得到方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證明：直線恒過定點(diǎn)M；
（2）可得定點(diǎn)Q（3，4）在直線上，由平面幾何性質(zhì)可得PQ⊥直線時點(diǎn)P到直線距離最大，由此利用垂直直線的斜率關(guān)系列式，即可解出實(shí)數(shù)m的值；
（3）若直線分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A，B兩點(diǎn)，說明直線的斜率小于0，設(shè)出斜率根據(jù)直線過的定點(diǎn)，寫出直線方程，求出△AOB面積的表達(dá)式，利用基本不等式求出面積的最小值，即可得到面積最小值的直線的方程．

解答 （1）證明：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0化為（x-2y-3）m=-2x-y-4．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{-2x-y-4=0}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$
∴直線必過定點(diǎn)（-1，-2）．
（2）解：設(shè)直線必過定點(diǎn)P（-1，-2）．
可知點(diǎn)Q與定點(diǎn)（3，4）的連線的距離就是所求最大值，此時直線PQ與直線（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0垂直，
∵k_PQ=$\frac{-2-4}{-1-3}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{2+m}{2m-1}$=-$\frac{2}{3}$，
解得m=-$\frac{4}{7}$，
此時，點(diǎn)Q（3，4）到直線的最大距離是$\sqrt{（3+1）^{2}+（4+2）^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
綜上所述，m=-$\frac{4}{7}$時，點(diǎn)Q（3，4）到直線的距離最大，最大值為2$\sqrt{13}$．
（3）解：設(shè)直線的斜率為k（k＜0），則其方程為y+2=k（x+1），
∴OA=|$\frac{2}{k}$-1|，OB=|k-2|，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$•OA•OB=$\frac{1}{2}$|（$\frac{2}{k}$-1）（k-2）|=$\frac{1}{2}$|-$\frac{（k-2）^{2}}{k}$|．
∵k＜0，
∴-k＞0，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$[-$\frac{（k-2）^{2}}{k}$]=$\frac{1}{2}$[4+（-$\frac{4}{k}$）+（-k）]≥4．
當(dāng)且僅當(dāng)-$\frac{4}{k}$=-k，即k=-2時取等號．
∴△AOB的面積最小值是4，
直線的方程為y+2=-2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）

點(diǎn)評 本題是中檔題，考查直線恒過定點(diǎn)的知識，三角形面積的最小值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．