Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x₁≤x₂時(shí)，f（x₁）≤f（x₂）．當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，2f（

x

5

）=f（x），且f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，

1

2

）對(duì)稱(chēng)，則f（

1

15

）=（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、

  1

  3

• D、

  1

  5

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用賦值法，結(jié)合（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，

1

2

）對(duì)稱(chēng)得到f（x）=1-f（1-x），先求解f（0），f（1），f（

1

2

）的值，然后，利用條件，找規(guī)律，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，

1

2

）對(duì)稱(chēng)，
∴f（x）+f（1-x）=1，即f（x）=1-f（1-x），
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
由f（x）=1-f（1-x），
得 f（1）=1，
令x=

1

2

，則f（

1

2

）=

1

2

，
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，2f（

x

5

）=f（x），
∴f（

x

5

）=

1

2

f（x），
即f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

，
f（

1

10

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
∵當(dāng)x₁≤x₂時(shí)，f（x₁）≤f（x₂）．
∴當(dāng)

1

25

＜x＜

1

10

時(shí)，f（

1

25

）≤f（x）≤f（

1

10

），
即此時(shí)

1

4

≤f（x）≤

1

4

，
即當(dāng)

1

25

＜x＜

1

10

時(shí)，f（x）=

1

4

為常數(shù)，
∵

1

25

＜

1

15

＜

1

10

，
∴f（

1

15

）=

1

4

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性尋找規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)的難度．