Question

已知函數(shù)y＝a^2x＋2a^x－1(a＞0且a≠1)在區(qū)間[－1，1]上有最大值14，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：由y＝a2x＋2ax－1得y＝(ax)2＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，令ax＝t，則y＝(t＋1)2－2． 　　①當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)閤∈[－1，1]，所以≤ax≤a，即≤t≤a． 　　因?yàn)楹瘮?shù)y＝(t＋1)2－2的對(duì)稱軸為t＝－1， 　　所以，當(dāng)t＝a時(shí)，函數(shù)y＝(t＋1)2－2有最大值，即(a＋1)2－2＝14，解得a＝3． 　�、诋�(dāng)0＜a＜1時(shí)，因?yàn)閤∈[－1，1]，所以a≤ax≤，即a≤t≤． 　　所以，當(dāng)t＝時(shí)，函數(shù)y＝(t＋1)2－2有最大值，即(＋1)2－2＝14，解得a＝． 　　綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為3或． 　　點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)函數(shù)綜合問(wèn)題，考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，因此，在解綜合問(wèn)題時(shí)，一定要對(duì)涉及的知識(shí)點(diǎn)熟悉并能熟練運(yùn)用．此外，注意一些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，本題中運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，對(duì)底數(shù)a在(0，1)及(1，＋∞)上兩種情況進(jìn)行分類討論，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在這兩個(gè)范圍上的單調(diào)性完全不同．

提示：

分析：將已知函數(shù)y＝a2x＋2ax－1的解析式化為y＝(ax)2＋2ax－1，則令u＝ax，再利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得到解答．