Question

22．已知函數(shù)y=x+有如下性質(zhì)，如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（］上是減函數(shù)，在［，+∞）上是增函數(shù).

（1）如果函數(shù)y＝x+在（0，4］上是減函數(shù)，在［4，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)常數(shù)b的值；

（2）設(shè)常數(shù)c∈[1，4]，求函數(shù)f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值；

 

（3）當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，研究函數(shù)g（x）=xⁿ-（c＞0）的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.

Answer 1

解(1) 由已知得=4, ∴b=4.

     (2) ∵c∈[1,4], ∴∈[1,2],

     于是,當(dāng)x=時(shí), 函數(shù)f(x)=x+取得最小值2.

f(1)－f(2)=,

當(dāng)1≤c≤2時(shí), 函數(shù)f(x)的最大值是f(2)=2+；

當(dāng)2≤c≤4時(shí), 函數(shù)f(x)的最大值是f(1)=1+c.

 

(3)設(shè)0＜x₁＜x₂,g(x₂)－g(x₁)=.

    

     當(dāng)＜x₁＜x₂時(shí), g(x₂)>g(x₁), 函數(shù)g(x)在[,+∞)上是增函數(shù)；

     當(dāng)0＜x₁＜x₂＜時(shí), g(x₂)>g(x₁), 函數(shù)g(x)在(0, ]上是減函數(shù).

   當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),g(x)是奇函數(shù),

  函數(shù)g(x) 在(－∞,－]上是增函數(shù), 在[－,0)上是減函數(shù).

   當(dāng)n是偶數(shù)時(shí), g(x)是偶函數(shù),

   函數(shù)g(x)在(－∞,－]上是減函數(shù), 在[－,0)上是增函數(shù).