Question

已知△ABC中，sinA（sinB+cosB）=sinC，BC=3，則△ABC的周長的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：把已知條件的左邊利用乘法分配律化簡，右邊由三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡后，左右兩邊抵消后，即可求出tanA的值，根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，然后利用正弦定理分別表示出AC和AB，利用三角形的周長的求法三邊相加，把A的度數(shù)代入利用特殊角的三角函數(shù)值化簡后，提取6，利用兩角和的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)B的范圍求出B+的范圍，進而得到正弦函數(shù)的值域范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到三角形周長的范圍．
解答：解：由sinA（sinB+cosB）=sinC，
得：sinAsinB+sinAcosB=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
即：sinAsinB=cosAsinB，
得到：tanA=，又A∈（0，π），得到A=，
所以sinA=sin=，cosA=cos=，
根據(jù)正弦定理得：==，
所以AB===2sinC；AC===2sinB，
則△ABC的周長=AB+AC+BC=2sinC+2sinB+3
=2sin（π-A-B）+2sinB+3
=2（sinAcosB+cosAsinB）+2sinB+3
=2（cosB+sinB）+2sinB+3
=3cosB+3sinB+3
=6（cosB+sinB）+3
=6sin（B+）+3
由0＜B＜，得到＜B+＜，
所以sin（B+）的值域為（，1]，
則△ABC的周長的取值范圍是（6，9]．
故答案為：（6，9]
點評：此題考查了誘導公式、兩角和的正弦函數(shù)公式以及正弦定理，考查了利用三角函數(shù)的數(shù)學思想求周長的范圍，是一道中檔題．