Question

在數(shù)列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p為常數(shù)），則稱{a_n}為“等方差數(shù)列”，下列是對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷；
①若{a_n}是等方差數(shù)列，則{a_n²}是等差數(shù)列；
②{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列；
③若{a_n}是等方差數(shù)列，則{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；
④若{a_n}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列．
其中正確命題序號(hào)為

 

．（將所有正確的命題序號(hào)填在橫線上）

Answer 1

分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及題中的等方差數(shù)列的新定義，即可判斷出正確的答案．

解答：解：①因?yàn)閧a_n}是等方差數(shù)列，所以a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p為常數(shù)）成立，
得到{a_n²}為首項(xiàng)是a₁²，公差為p的等差數(shù)列；
②因?yàn)閍_n²-a_n-1²=（-1）²ⁿ-（-1）^2n-1=1-（-1）=2，所以數(shù)列{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列；
③數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)列舉出來(lái)是：a₁，a₂，…，a_k，a_k+1，a_k+2，…，a_2k，…，a_3k，…
數(shù)列{a_kn}中的項(xiàng)列舉出來(lái)是：a_k，a_2k，a_3k，…
因?yàn)閍_k+1²-a_k²=a_k+2²-a_k+1²=a_k+3²-a_k+2²=…=a_2k²-a_k²=p
所以（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=a_2k²-a_k²=kp，
類似地有a_kn²-a_kn-1²=a_kn-1²-a_kn-2²=…=a_kn+3²-a_kn+2²=a_kn+2²-a_kn+1²=a_kn+1²-a_kn²=p
同上連加可得a_kn+1²-a_kn²=kp，所以，數(shù)列{a_kn}是等方差數(shù)列；
④{a_n}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，所以a_n²-a_n-1²=p，且a_n-a_n-1=d（d≠0），所以a_n+a_n-1=

p

d

，聯(lián)立解得a_n=

d

2

+

p

2d

，
所以{a_n}為常數(shù)列，當(dāng)d=0時(shí)，顯然{a_n}為常數(shù)列，所以該數(shù)列為常數(shù)列．
綜上，正確答案的序號(hào)為：①②③④
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)及新定義等方差數(shù)列化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．