Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項為和S_n，點在直線上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足，且b₃=11，前9項和為153．
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（II）設(shè)，問是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，得，即．…（1分）
故當(dāng)n≥2時，．…（3分）
當(dāng)n=1時，a₁=S_l=6，所以，a_n=n+5（n∈N^*）． …（4分）
又b_n+1-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+l=b_n+1-b_n（n∈N^*），所以{b_n}為等差數(shù)列，…（5分）
于是．而b₃=11，故．…（7分）
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）． …（8分）
（Ⅱ）…（9分）
①當(dāng)m為奇數(shù)時，m+15為偶數(shù)．
此時f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，m=11． …（1分）
②當(dāng)m為偶數(shù)時，m+15為奇數(shù)，
此時f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，
所以m+20=15m+10，m=（舍去）． …（13分）
綜上，存在唯一正整數(shù)m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立． …（14分）
分析：（Ⅰ）由已知條件得，根據(jù)前n項和與第n項的關(guān)系求出當(dāng)n≥2時的通項公式，再由a₁=S_l=6，求得數(shù)列{a_n}的通項公式．利用等差中項證明{b_n}為等差數(shù)列，求出公差和第三項，從而求得{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）分m為奇數(shù)和m為偶數(shù)，分別利用條件f（m+15）=5f（m）求出m的值，可得結(jié)論．
點評：本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性，等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．