Question

已知

a

=(

3

cosx，sinx)，

b

=(sinx，

3

cosx)，函數(shù)f（x）=

a

•

a

+

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）已知f(

α

2

)=3，且α∈（0，π），求α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）首先根據(jù)已知條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，分別求出向量的數(shù)量積和向量的模，進(jìn)一步把函數(shù)的關(guān)系式通過(guò)三角恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期．
（2）利用（1）的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)定義域的取值范圍．進(jìn)一步求出角的大�。�

解答： 解：（1）已知：

a

=(

3

cosx，sinx)，

b

=(sinx，

3

cosx)
則：f（x）=

a

•

a

+

a

•

b

=3cos2x+sin2x+2

3

sinxcosx
=

3

sin2x+cos2x+2
=2sin(2x+

π

6

)+2
所以：函數(shù)的最小正周期為：T=

2π

2

=π…（2分）…（4分）
（2）由于f（x）=2sin(2x+

π

6

)+2
所以f(

α

2

)=3
解得：2sin(α+

π

6

)+2=3
所以：sin(α+

π

6

)=

1

2

…（6分）
因?yàn)椋害痢剩?，π），
所以：α+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)
則：α+

π

6

=

5π

6

解得：α=

2π

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的定義域求角的大�。畬儆诨�礎(chǔ)題型．