Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=3，a₅=9；數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足$_{1}=1，_{2}=3，{S}_{n+1}=4{S}_{n}-3{S}_{n-1}（n≥2，n∈{N}^{*}）$．
（Ⅰ）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若對任意的$n∈{N}^{*}，（{S}_{n}+\frac{1}{2}）?k≥{a}_{n}$恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的求和公式可得S_n，原不等式可轉(zhuǎn)化為（$\frac{{3}^{n}-1}{2}+\frac{1}{2}）•k≥3n-6$•k≥3n-6對n∈N^*恒成立，化簡利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）由a₅-a₃=2d=6，得d=3，∴a_n=3+（n-3）×3=3n-6．
∴a_n=3n-6．
由S_n+1=4S_n-3S_n-1，得S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），即b_n+1=3b_n（n≥2）．
又$_{2}=3=3_{1}，即\frac{_{n+1}}{_{n}}=3$（n∈N^*），
∴{b_n}是等比數(shù)列，其中首相為b₁=1，公比為3，
∴$_{n}=1×{3}^{n-1}={3}^{n-1}$．
（II）${S}_{n}=\frac{1×（1-{3}^{n}）}{1-3}=\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
∴原不等式可轉(zhuǎn)化為（$\frac{{3}^{n}-1}{2}+\frac{1}{2}）•k≥3n-6$•k≥3n-6對n∈N^*恒成立，
∴$k≥\frac{2（3n-6）}{{3}^{n}}$對n∈N^*恒成立．
令${c}_{n}=\frac{2（3n-6）}{{3}^{n}}，{c}_{n}-{c}_{n-1}=\frac{2（3n-6）}{{3}^{n}}-\frac{2[3（n-1）-6]}{{3}^{n-1}}=\frac{-12n+42}{{3}^{n}}（n≥2）$．
當(dāng)n≤3時，c_n-c_n-1＞0即c_n＞c_n-1；  當(dāng)n≥3時，c_n＜c_n-1．
∴當(dāng)n=3時c_n有最大值，最大值為${c}_{3}=\frac{2（3×3-6）}{{3}^{3}}=\frac{2}{9}$，
∴$k≥\frac{2}{9}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其求和公式、不等式的性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．