Question

4．某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，A，B兩點(diǎn)為噴泉，圓心O為AB的中點(diǎn)，其中OA=OB=a米，半徑OC=10米，市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞．
（1）若當(dāng)∠OBC=$\frac{2π}{3}$時(shí)，sin∠BCO=$\frac{1}{3}$，求此時(shí)a的值；
（2）設(shè)y=CA²+CB²，且CA²+CB²≤232．
（i）試將y表示為a的函數(shù)，并求出a的取值范圍；
（ii）若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞噴泉時(shí)，觀賞角度∠ACB的最大值不小于$\frac{π}{6}$，試求A，B兩處噴泉間距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)∠OBC=$\frac{2π}{3}$時(shí)，sin∠BCO=$\frac{1}{3}$，由正弦定理求此時(shí)a的值；
（2）（i）利用余弦定理，結(jié)合CA²+CB²≤232，即200+2a²≤232，可將y表示為a的函數(shù)，并求出a的取值范圍；
（ii）當(dāng)觀賞角度∠ACB的最大時(shí)，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得結(jié)論．

解答 解：（1）在△OBC中，由正弦定理得，$\frac{OC}{sin∠OBC}=\frac{OB}{sin∠BCO}$，
易得$OB=a=\frac{{20\sqrt{3}}}{9}$．…（3分）
（2）（i）易知AC²=100+a²-20acos∠AOC，BC²=100+a²-20acos∠BOC，
故CA²+CB²=200+2a²，…（5分）
又因?yàn)镃A²+CB²≤232，即200+2a²≤232，解得0＜a≤4，
即y=200+2a²，a∈（0，4]；…（7分）
（ii）當(dāng)觀賞角度∠ACB的最大時(shí)，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得$cos∠ACB=\frac{{C{A^2}+C{B^2}-4{a^2}}}{2CA•CB}≥\frac{{C{A^2}+C{B^2}-4{a^2}}}{{C{A^2}+C{B^2}}}=1-\frac{{2{a^2}}}{{100+{a^2}}}$，
即$cos∠ACB≥1-\frac{{2{a^2}}}{{100+{a^2}}}$…（11分）
由題意可知$1-\frac{{2{a^2}}}{{100+{a^2}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解此不等式得$a≥20-10\sqrt{3}$，
經(jīng)驗(yàn)證，$20-10\sqrt{3}∈（0，4]$，即$2a≥40-20\sqrt{3}$．…（13分）
答：（1）此時(shí)$a=\frac{{20\sqrt{3}}}{9}$；
（2）（i）所得函數(shù)關(guān)系式為y=200+2a²，a∈（0，4]；
（ii）A，B兩處噴泉間距離的最小值為$40-20\sqrt{3}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形知識(shí)的運(yùn)用，考查余弦定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．