【題目】已知A、B為橢圓()和雙曲線的公共頂點,P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動點,且(,),設AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為、、、.
(1)若,求的值(用a、b的代數(shù)式表示);
(2)求證:;
(3)設、分別為橢圓和雙曲線的右焦點,若,求的值.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)8.
【解析】
(1)根據(jù)平面向量的線性運算可得,設點,,將兩點分別代入雙曲線方程和橢圓方程并求解可得,,從而可求;
(2)設點P,Q的坐標分別為,,將點P的坐標代入雙曲線方程變形可得,則,同理可得,相加即可證明結論;
(3)由(2),,又,則,,從而,解得,,因為O,P,Q三點共線且,所以,則,可求,結合①可得,再求,同理可求和,由此即可求得結果.
(1)如圖,,,
,,
若,則,設點,,
將兩點分別代入雙曲線方程和橢圓方程中得:,,
解得,,,故;
(2)設點P,Q的坐標分別為,,
則,即,
所以,①,
同理,②,由(1)知,O,P,Q三點共線,
,由①②得,;
(3)由(2),,又,則,
即,,從而,又,
解得,,
因為O,P,Q三點共線且,所以,
則,所以,
由①得,同理,
另一方面,,類似地,,
故.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學小組到進行社會實踐調(diào)查,了解鑫鑫桶裝水經(jīng)營部在為如何定價發(fā)愁。進一步調(diào)研了解到如下信息:該經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進價是5元,銷售單價與日均銷售量的關系如下表:
銷售單價/元 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
日均銷售量/桶 | 480 | 440 | 400 | 360 | 320 | 280 | 240 |
根據(jù)以上信息,你認為該經(jīng)營部定價為多少才能獲得最大利潤?( )
A.每桶8.5元B.每桶9.5元C.每桶10.5元D.每桶11.5元
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規(guī)定:機動車行經(jīng)人行橫道時,應當減速慢行;遇行人正在通過人行橫道,應當停車讓行,俗稱“禮讓斑馬線”,《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定:對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分,罰款50元的處罰.
(1)交警從這5個月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人,調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關系,得到如下列聯(lián)表:能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關?
不禮讓斑馬線 | 禮讓斑馬線 | 合計 | |
駕齡不超過1年 | 22 | 8 | 30 |
駕齡1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
(2)下圖是某市一主干路口監(jiān)控設備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為的折線圖:
請結合圖形和所給數(shù)據(jù)求違章駕駛員人數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程,并預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù).
附注:參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:,,(其中)
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設,對任意恒有,求實數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一個粒子從原點出發(fā),在第一象限和兩坐標軸正半軸上運動,在第一秒時它從原點運動到點,接著它按圖所示在軸、軸的垂直方向上來回運動,且每秒移動一個單位長度,那么,在2018秒時,這個粒子所處的位置在點______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,為橢圓上一動點(異于左右頂點),面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓相交于點兩點,問軸上是否存在點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在極坐標系下,方程的圖形為如圖所示的“幸運四葉草”,又稱為玫瑰線.
(1)當玫瑰線的時,求以極點為圓心的單位圓與玫瑰線的交點的極坐標;
(2)求曲線上的點M與玫瑰線上的點N距離的最小值及取得最小值時的點M、N的極坐標(不必寫詳細解題過程).
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