Question

設(shè)平面上不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)為O，A，B，當(dāng)實(shí)數(shù)p，q滿足

1

p

+

1

q

=1時(shí)，則連接p

OA

，q

OB

兩個(gè)向量終點(diǎn)的直線是否通過一個(gè)定點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：先給出判斷，然后給出證明：設(shè)M是連接p

OA

，q

OB

兩個(gè)向量終點(diǎn)的直線上的動(dòng)點(diǎn)，得到

OM

-p

OA

=t（q

OB

-p

OA

），其中t為參數(shù)，代入p，q化簡(jiǎn)求解．

解答：解：結(jié)論：連接p

OA

，q

OB

兩個(gè)向量終點(diǎn)的直線過定點(diǎn)，
證明如下：
設(shè)

OC

=

OA

+

OB

，則C為定點(diǎn)，
設(shè)M是連接p

OA

，q

OB

兩個(gè)向量終點(diǎn)的直線上的動(dòng)點(diǎn)，則

OM

-p

OA

=t（q

OB

-p

OA

），其中t為參數(shù)，
∵

1

p

+

1

q

=1，
∴q=

p

p-1

，
∴

OM

=p

OA

+t（

p

p-1

OB

-p

OA

）=p

OA

+

tp

p-1

×（

OB

+

OA

-p

OA

），
當(dāng)t=

p-1

p

時(shí)，

OM

=

OA

+

OB

=

OC

，
∴連接p

OA

，q

OB

兩個(gè)向量終點(diǎn)的直線過定點(diǎn)C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，利用向量法求解可以簡(jiǎn)化計(jì)算．