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12.如圖,扇形AOB所在圓的半徑是1,弧AB的中點(diǎn)為C,動(dòng)點(diǎn)M,N分別在OA,OB上運(yùn)動(dòng),且滿足OM=BN,∠AOB=120°.
(Ⅰ)設(shè)OA=aOB=b,若OM=34OA,用a,b表示CMCN;
(Ⅱ)求CMCN的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由題意可得△OAC是等邊三角形,|AC|=|OB|,四邊形OACB是平行四邊形,從而用a,b表示CMCN
(Ⅱ)利用兩個(gè)向量的加減法的法則,以及其幾何意義,化簡(jiǎn)CMCN的解析式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),求得它的范圍.

解答 解:(Ⅰ)由題意可得△OAC是等邊三角形,∴|AC|=|OB|,
∴四邊形OACB是平行四邊形,∴OC=OA+OB=a+b
CM=OMOC=34aab=14ab,CN=ONOC=14bab=a34b
(Ⅱ)設(shè)OM=tOA=ta,則ON=1tOB=1tb,t∈[0,1].
CM=OMOC=taab=t1abCN=ONOC=1tbab=atb,
CMCN=[t1ab][atb]=t1a2tt1ab+ab+tb2=12t2t+1=12[t122+34],
由t∈[0,1],得CMCN的取值范圍是[3812]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則,以及其幾何意義,兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算,二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.

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