分析 (Ⅰ)由題意可得△OAC是等邊三角形,|→AC|=|→OB|,四邊形OACB是平行四邊形,從而用a,b表示→CM,→CN.
(Ⅱ)利用兩個(gè)向量的加減法的法則,以及其幾何意義,化簡(jiǎn)→CM•→CN的解析式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),求得它的范圍.
解答 解:(Ⅰ)由題意可得△OAC是等邊三角形,∴|→AC|=|→OB|,
∴四邊形OACB是平行四邊形,∴→OC=→OA+→OB=a+b,
∴→CM=→OM−→OC=34a−a−b=−14a−b,→CN=→ON−→OC=14b−a−b=−a−34b.
(Ⅱ)設(shè)→OM=t→OA=ta,則→ON=(1−t)→OB=(1−t)b,t∈[0,1].
∴→CM=→OM−→OC=ta−a−b=(t−1)a−b,→CN=→ON−→OC=(1−t)b−a−b=−a−tb,
∴→CM•→CN=[(t−1)a−b][−a−tb]=−(t−1)a2−t(t−1)a•b+a•b+tb2=12(t2−t+1)=12[(t−12)2+34],
由t∈[0,1],得→CM•→CN的取值范圍是[38,12].
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則,以及其幾何意義,兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算,二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.
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A. | \frac{{2\sqrt{13}}}{5} | B. | \frac{{\sqrt{7}}}{2} | C. | \frac{{2\sqrt{39}}}{9} | D. | \sqrt{3} |
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A. | -\frac{{\sqrt{3}}}{3} | B. | \frac{{\sqrt{3}}}{3} | C. | \sqrt{3} | D. | -\sqrt{3} |
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A. | b<a<c | B. | a<b<c | C. | c<a<b | D. | c<b<a |
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A. | 127 | B. | 125 | C. | 89 | D. | 70 |
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