Question

函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上所有零點(diǎn)之和為 ．

 

Answer 1

8

【解析】

試題分析：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴，又∵函數(shù)，∴∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)的零點(diǎn)都是以相反數(shù)的形式成對出現(xiàn)的．∴函數(shù)在[-6，6]上所有的零點(diǎn)的和為0，∴函數(shù)在[-6，+∞）上所有的零點(diǎn)的和，即函數(shù)在（6，+∞）上所有的零點(diǎn)之和．由0＜x≤2時(shí)，，即∴函數(shù)在（0，2]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720472523275527/SYS201411172047322955328838_DA/SYS201411172047322955328838_DA.008.png">，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，=1；

又∵當(dāng)x＞2時(shí)，

∴函數(shù)在（2，4]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720472523275527/SYS201411172047322955328838_DA/SYS201411172047322955328838_DA.010.png">，當(dāng)且僅當(dāng)x=４時(shí)，=；

函數(shù)在（４，６]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720472523275527/SYS201411172047322955328838_DA/SYS201411172047322955328838_DA.012.png">，當(dāng)且僅當(dāng)x=６時(shí)，=；

函數(shù)在（６，８]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720472523275527/SYS201411172047322955328838_DA/SYS201411172047322955328838_DA.014.png">，當(dāng)且僅當(dāng)x=８時(shí)，=；

函數(shù)在（８，10]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720472523275527/SYS201411172047322955328838_DA/SYS201411172047322955328838_DA.016.png">，當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，=；

故在（8，10]上恒成立，

注意到的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

所以在（8，10]上無零點(diǎn);

同理在（10，12]上無零點(diǎn);

依此類推，函數(shù)在（8，+∞）無零點(diǎn);

綜上函數(shù)在[-6，+∞）上的所有零點(diǎn)之和為8;故應(yīng)填入:8.

如下圖:

考點(diǎn)：１．奇偶性與單調(diào)性的綜合；２．函數(shù)的零點(diǎn)．