Question

17．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）•e^3-x（a∈R）；
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=（a²+$\frac{25}{4}$）e^x（a＞0），若存在（a＞0），x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)乘法的運(yùn)算法則求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后討論f'（x）=0時(shí)兩根大小，然后分別解不等式f'（x）＜0與f'（x）＞0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，4]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域，根據(jù)g（x）在[0，4]上單調(diào)遞增，可求出g（x）在[0，4]的值域；
若存在（a＞0），x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，只需要g_min（x）-f_max（x）＜1，解不等式即可．

解答 ．解：（1）f'（x）=-[x²+（a-2）x-3a-3]e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
由-a-1=3得a=-4，
當(dāng)a=-4時(shí)，f′（x）=-（x-3）²e^3-x≤0，此時(shí)函數(shù)在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
當(dāng)a＜-4時(shí)，-a-1＞3，由f'（x）＜0⇒x＜3或x＞-a-1，f'（x）＞0⇒3＜x＜-a-1．
∴f（x）單調(diào)減區(qū)間為（-∞，3），（-a-1，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（3，-a-1）．
當(dāng)a＞-4時(shí)，-a-1＜3，
f'（x）＜0⇒x＞3或x＜-a-1，f'（x）＞0⇒-a-1＜x＜3．
∴f（x）單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-a-1），（3，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（-a-1，3）．
（2）由（1）知，當(dāng)a＞0時(shí)，-a-1＜0，f（x）在區(qū)間[0，3]上的單調(diào)遞增，
在區(qū)間[3，4）]單調(diào)遞減，而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6．
那么f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是F=[-（2a+3）e³，a+6]
又g（x）=（a²+$\frac{25}{4}$）e^x（a＞0），在[0，4]上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)的值域?yàn)镚=[a²+$\frac{25}{4}$，（a²+$\frac{25}{4}$）e⁴]，
∵a＞0，∴-（2a+3）e³＜a+6≤a²+$\frac{25}{4}$＜（a²+$\frac{25}{4}$）e⁴，
|f（x₁）-g（x₂）|＜1等價(jià)為g（x₂）-f（x₁）＜1
若存在（a＞0），x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，
只需要g_min（x）-f_max（x）＜1，
∴a²+$\frac{25}{4}$-a-6＜1，得4a²-4a-3＜0，得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$
∵a＞0，
∴0＜a＜$\frac{3}{2}$
∴a的取值范圍為（0，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng)，難度較大．