Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，，PA=2，AB=AC=4，點D、E、F分別為BC、AB、AC的中點．
（I）求證：EF⊥平面PAD；
（II）求點A到平面PEF的距離；
（III）求二面角E-PF-A的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證EF⊥平面PAD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證EF與平面PAD內(nèi)兩相交直線垂直，而PA⊥EF，EF⊥AD，PA∩AD=A，滿足定理的條件；
（II）設(shè)EF與AD相交于點G，連接PG，過A做AO⊥平面PEF，則O在PG上，所以線段AO的長為點A到平面PEF的距離，在三角形PAG中求出AO，即得到了點A到平面PEF的距離；
（III）過A做AH⊥PF，垂足為H，連接EH，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠EHA為二面角E-PF-A的一個平面角，在直角三角形EHA中求出此角的正切值，最后用反三角函數(shù)表示即可．
解答：解：（I）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥EF，
AD為PD在平面ABC內(nèi)的射影．
又∵點E、F分別為AB、AC的中點，∴EF∥BC
在△ABC中，由于AB=AC，故AD⊥BC，
所以EF⊥AD，∴PA⊥EF，EF⊥AD
∴EF⊥平面PAD（4分）
（II）設(shè)EF與AD相交于點G，連接PG．
∵EF⊥平面PAD，∴面PEF⊥dmPAD，交線為PG，
過A做AO⊥平面PEF，則O在PG上，
所以線段AO的長為點A到平面PEF的距離
在，∴
即點A到平面PEF的距離為（8分）
（III）∵∴BA⊥平面PAC．
過A做AH⊥PF，垂足為H，連接EH．
則EH⊥PF
所以∠EHA為二面角E-PF-A的一個平面角．
在，∴
即二面角E-PF-A的正切值為∴．（12分）
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及點到平面的距離和二面角的度量，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力．