為迎接2011“兔”年的到來,某機(jī)構(gòu)舉辦猜獎活動,參與者需先后回答兩道選擇題:問題A有四個(gè)選項(xiàng),問題B有五個(gè)選項(xiàng),但都只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,正確回答問題A可獲獎金m元,正確回答問題B可獲獎金n元.活動規(guī)定:參與者可任意選擇回答問題的順序:如果第一個(gè)問題回答錯(cuò)誤,則該參與者猜獎活動中止,一個(gè)參與者在回答問題前,對這兩個(gè)問題都很陌生,因而準(zhǔn)備靠隨機(jī)猜測回答問題,試確定回答問題的順序使獲獎金額的期望值較大.
分析:隨機(jī)猜對問題A的概率
P1=,隨機(jī)猜對問題B的概率
P2=.回答問題的順序有兩種,分別討論如下:先回答問題A,再回答問題B.先回答問題B,再回答問題A,做出兩種情況下的獲勝的期望,進(jìn)行比較,分類討論.
解答:解:隨機(jī)猜對問題A的概率
P1=,隨機(jī)猜對問題B的概率
P2=.
回答問題的順序有兩種,分別討論如下:
(1)先回答問題A,再回答問題B.
參與者獲獎金額ξ可取0,m,m+n,則
P(ξ=0)=1-P1=,P(ξ=m)=P1(1-P2)=×=,
P(ξ=m+n)=P1P2=×=.
Eξ=m×
+(m+n)×
=
+
(2)先回答問題B,再回答問題A,
參與者獲獎金額η可取0,n,m+n,則
P(η=0)=1-P2=,P(ξ=n)=P2(1-P1)=×=,
P(η=m+n)=P2P1=×=.
Eη=0×+n×+(m+n)×=+.
Eξ-Eη=(
+)-(
+)=
于是,當(dāng)
>時(shí),Eξ>Eη,先回答問題A,再回答問題B,獲獎的期望值較大;
當(dāng)
=時(shí),Eξ=Eη,兩種順序獲獎的期望值相等;
當(dāng)
<時(shí),Eξ<Eη,先回答問題B,再回答問題A,獲獎的期望值較大.
點(diǎn)評:期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念之一,是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù),學(xué)習(xí)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識做鋪墊.同時(shí),它在市場預(yù)測,經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì),風(fēng)險(xiǎn)與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.