Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+a）+1過(guò)點(diǎn)（4，4）．
（1）求實(shí)數(shù)a；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向下平移1個(gè)單位，再向右平移a個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）圖象，設(shè)函數(shù)g（x）關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為h（x），試求h（x）的解析式；
（3）對(duì)于定義在（-4，0）上的函數(shù)y=h（x），若在其定義域內(nèi)，不等式[h（x）+2]²＞h（x）m-1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，log₂（4+a）+1=4，由此求得a的值．
（2）由（1）可得f（x）=log₂（x+4）+1，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律求得，函數(shù)g（x）的解析式，
再根據(jù)函數(shù)g（x）關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為h（x），求得h（x）的解析式．
（3）由題意可得(log2(-x)+2)2＞mlog2(-x)-1在（-4，0）恒成立，設(shè)t=log₂（-x），則t＜2，t²+（4-m）t+5＞0，在t＜2時(shí)恒成立．令g（t）=t²+（4-m）t+5，則

m-2 2 ≤2 △=(4-m)2-20＜0

，或

m-2 2 ＞2 g(2)=17-2m≥0

，分別求得這2個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）由已知可得，log₂（4+a）+1=4，解得 a=4．
（2）由（1）可得f（x）=log₂（x+4）+1，向下平移1個(gè)單位后再向右平移4個(gè)單位后，
得到函數(shù)g（x）=log₂x．
由于函數(shù)g（x）關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為h（x），
∴h（x）=log₂（-x）（x＜0）．
（3）∵(log2(-x)+2)2＞mlog2(-x)-1在（-4，0）恒成立，
∴設(shè)t=log₂（-x）（-4＜x＜0），則t＜2，
∴（t+2）²＞tm-1，即：t²+（4-m）t+5＞0，在t＜2時(shí)恒成立．
令g（t）=t²+（4-m）t+5，
∴

m-2 2 ≤2 △=(4-m)2-20＜0

，或

m-2 2 ＞2 g(2)=17-2m≥0

，
解得 4-2

5

＜m≤6，或8＜m≤

17

2

，
綜合得：4-2

5

＜m≤

17

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象的平移變換規(guī)律，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．