Question

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x均有f（x）=kf（x+2），其中常數(shù)k為負數(shù)，且f（x）在區(qū)間[0，2]上有表達式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）當x∈[2，4]時，求f（x）的解析式；
（3）寫出f（x）在[-3，3]上的表達式．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）中f（1）易求，求f（-1）用公式f（x）=kf（x+2）；（2）中通過區(qū)間轉換的方式解決，用（x+2）替換x．（3）各個區(qū)間上的表達式不一樣，所以分段表示．

解答： 解：（1）∵f（x）=x（x-2），∴f（1）=-1；
∵f（x）=kf（x+2），且f（x）在區(qū)間[0，2]時，f（x）=x（x-2）
∴f（-1）=kf（-1+2）=kf（1）=k•1•（1-2）=-k．
（2）若x∈[0，2]，則x+2∈[2，4]；
∴f(x+2)=

1

k

f(x)=

1

k

x(x-2)=

1

k

[(x+2)-2][(x+2)-4]
∴當x∈[2，4]時，f（x）=

1

k

（x-2）（x-4）．
（3）若x∈[-2，0），則x+2∈[0，2）∴f（x+2）=（x+2）[（x+2）-2]=x（x+2）
∴f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
若x∈[-4，-2），則x+2∈[-2，0）
∴f（x+2）=k（x+2）[（x+2）+2]=k（x+2）（x+4）
∴f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）；
∵（2，3]?[2，4]，[-3，-2）?[-4，-2），
∴當x∈[-3，3]時，f(x)=

k2(x+2)(x+4)，x∈[-3，-2) kx(x+2)，x∈[-2，0) x(x-2)，x∈[0，2] 1 k (x-2)(x-4)，x∈(2，3]

．

點評：這是一道求函數(shù)解析式的問題，本題較為抽象，在區(qū)間轉化時一定要細心，防止出錯．