Question

如圖，設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2p）時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，對(duì)拋物線的方程進(jìn)行求導(dǎo)，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直線方程和直線MB的方程，聯(lián)立求得2x=x₁+x₂．判斷出三者的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得x，代入橢圓和直線的方程整理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，表示出直線AB的斜率，最后利用弦長(zhǎng)公式建立等式求得p，則拋物線的方程可得．
解答：解：（Ⅰ）證明：由題意設(shè)．
由x²=2py得，得，
所以，．
因此直線MA的方程為，直線MB的方程為．
所以，①．②
由①、②得，因此，即2x=x₁+x₂．
所以A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)x=2時(shí)，
將其代入①、②并整理得：x₁²-4x₁-4p²=0，x₂²-4x₂-4p²=0，所以x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的兩根，
因此x₁+x₂=4，x₁x₂=-4p²，又，所以．
由弦長(zhǎng)公式得．又，
所以p=1或p=2，因此所求拋物線方程為x²=2y或x²=4y．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．注重了考生知識(shí)的靈活運(yùn)用的能力和基本的計(jì)算的能力．