Question

4．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=6，cos∠ADC=-$\frac{1}{3}$．
（1）若∠CAB=$\frac{π}{4}$，求AC的長(zhǎng)；
（2）若BD=9，求△ABD的面積．

Answer 1

分析 （1）由條件利用梯形的性質(zhì)，同角三角的基本關(guān)系，求得sin∠ADC、以及∠ACD的值，再利用正弦定理求得AC．
（2）利用誘導(dǎo)公式求得cos∠DAB，利用同角三角的基本關(guān)系求得sin∠DAB，△ABD中，由余弦定理求得AB，從而求得△ABD的面積為$\frac{1}{2}$•AD•AB•sin∠DAB 的值．

解答 解：（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=6，cos∠ADC=-$\frac{1}{3}$，
∴sin∠ADC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∠ACD=∠CAB=$\frac{π}{4}$．
△ACD中，由正弦定理可得 $\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{AD}{sin∠ACD}$，即 $\frac{AC}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{6}{sin\frac{π}{4}}$，∴AC=8．
（2）若BD=9，∵∠DAB=π-∠ADC，
∴cos∠DAB=-cos∠ADC=$\frac{1}{3}$，
∴sin∠DAB=$\sqrt{{1-cos}^{2}∠DAB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
△ABD中，由余弦定理可得BD²=AD²+AB²-2AD•AB•cos∠DAB，
即 81=36+AB²-2•6•AB•$\frac{1}{3}$，∴AB=9，
∴△ABD的面積為$\frac{1}{2}$•AD•AB•sin∠DAB=$\frac{1}{2}$•6•9•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=18$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查梯形的性質(zhì)，同角三角的基本關(guān)系、正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．