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某企業(yè)有兩個生產車間分別在A、B兩個位置,A車間有100名員工,B車間有400名員工,現要在公路AC上找一點D,修一條公路BD,并在D處建一個食堂,使得所有員工均在此食堂用餐,已知A、B、C中任意兩點間的距離均是1km,設∠BDC=α,所有員工從車間到食堂步行的總路程為S.
(1)寫出S關于α的函數表達式,并指出α的取值范圍;
(2)問食堂D建在距離A多遠時,可使總路程S最少?
(1)在△BCD中,∵
BD
sin60°
=
BC
sinα
=
CD
sin(120°-α)
,
BD=
3
2
sinα
,CD=
sin(120°-α)
sinα

AD=1-
sin(120°-α)
sinα

S=400•
3
2
sinα
+100[1-
sin(120°-α)
sinα
]=50-50
3
cosα-4
sinα
,其中
π
3
≤α<
3


(2)S′=-50
3
-sinα•sinα-(cosα-4)cosα
sin2α
=50
3
1-4cosα
sin2α

令S'=0,得cosα=
1
4

cosα>
1
4
時,S'<0,S是α的單調減函數;
cosα<
1
4
時,S'>0,S是α的單調增函數.
∴當cosα=
1
4
時,S取得最小值.
此時,sinα=
15
4
,
AD=1-
sin(120°-α)
sinα
=1-
3
2
cosα+
1
2
sinα
sinα
=
1
2
-
3
cosα
2sinα
=
1
2
-
3
2
1
4
15
4
=
1
2
-
5
10
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

設函數f(x)=2x+
1
x
-1(x<0),則f(x)有最______(填“大”或“小”)值為______.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

已知x,y∈R+,且滿足x+2y=xy,那么x+5y的最小值是______.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,有一邊長分別為8與5的長方形,在各角剪去相同的小正方形,把四邊折起作成一個無蓋小盒,要使紙盒的容積最大,求剪去的小正方形的邊長及容積最大值.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

下列命題中正確的是( 。
A.y=x+
1
x
的最小值是2
B.y=
x2+3
x2+2
的最小值是2
C.y=
x2+5
x2+4
的最小值是
5
2
D.y=2-3x-
4
x
的最大值是2-4
3

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知兩條直線l1:y=m和l2:y=
8
2m+1
(m>0),l1與函數y=|log2x|的圖象從左至右相交于點A,B,l2與函數y=|log2x|的圖象從左至右相交于點C,D.記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a,b,當m變化時,
b
a
的最小值為( 。
A.16
2
B.8
2
C.8
34
D.4
34

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知正實數a,b滿足a+2b=1,則a2+4b2+
1
ab
的最小值為( 。
A.
7
2
B.4C.
161
36
D.
17
2

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

滿足約束條件,則的最小值是(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知x,y滿足,(x∈Z,y∈Z),每一對整數(x,y)對應平面上一個點,則過這些點中的其中3個點可作不同的圓的個數為(  )
A.45 B.36C.30D.27

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