Question

【題目】設(shè)數(shù)列 的前項和為，對一切，點都在函數(shù)的圖象上.

（1）求，歸納數(shù)列的通項公式（不必證明）；

（2）將數(shù)列依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為，，， ；，，，；，…，分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，求的值；

（3）設(shè)為數(shù)列的前項積，若不等式對一切都成立，其中，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）2010；（3）.

【解析】

（1）點坐標代入函數(shù)解析式，得，令依次可求得，歸納出通項公式；

（2）依題意，每一次循環(huán)記為一組.由于每一個循環(huán)含有4個括號，故是第25組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和．這樣可求得（注意規(guī)律），而，因此結(jié)論易用得．

（3）由，得，不等式對一切都成立， 就是對一切都成立，

設(shè)，則只需即可.用作商的方法說明是遞減數(shù)列，從而問題易求解．

（1）因為點在函數(shù)的圖象上，故，所以.

令，得，所以；令，得，所以，,……

由此猜想：.

（2）因為，所以數(shù)列依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），….

每一次循環(huán)記為一組.由于每一個循環(huán)含有4個括號，故是第25組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和.由分組規(guī)律知，由各組第4個括號中所有第1個數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20.

同理，由各組第4個括號中所有第2個數(shù)、所有第3個數(shù)、所有第4個數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20. 故各組第4個括號中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80.

注意到第一組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和是68，

所以.又，所以.

（3）因為，故，所以.

又，故對一切都成立，

就是對一切都成立，

設(shè)，則只需即可.

由于，所以，故是單調(diào)遞減，

于是，解得.