已知函數(shù)f(x)=ax+lnx,x∈(1,e),且f(x)有極值.
(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若l<m<n<e,證明
m
n
 
n
m
 
;
(Ⅲ)函數(shù)g(x)=
x
3
 
-x-2
,證明:?x1∈(1,e),?x0∈(1,e),使得g(x0)=f(x1)成立.
分析:(I)由f(x)=ax+lnx求導(dǎo),再由f(x)有極值知f′(x)=0解,且在兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)相異求解.
(Ⅱ)要證
m
n
 
n
m
 
,即證nlnm<mlnn,即證
lnm
m
lnn
n
,構(gòu)造函數(shù)F(x)=
lnx
x
,x∈(1,e),證明F(x)在(1,e)上為增函數(shù),即可證得結(jié)論;
(Ⅲ)由?x1∈(1,e),?x0∈(1,e),使得g(x0)=f(x1)f(x1)即研究:f(x)的值域是g(x)的值域的子集,所以分別求得兩函數(shù)的值域即可.
解答:(I)解:由f(x)=ax+lnx求導(dǎo)可得:f′(x)=a+
1
x

令f′(x)=a+
1
x
=0,可得a=-
1
x

∵x∈(1,e),∴-
1
x
∈(-1,-
1
e
),∴a∈(-1,-
1
e

又x∈(1,e)時(shí)

∴f(x)有極值時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,-
1
e
);
(Ⅱ)要證
m
n
 
n
m
 
,即證nlnm<mlnn,即證
lnm
m
lnn
n

令F(x)=
lnx
x
,x∈(1,e),則F′(x)=
1-lnx
x2

∴當(dāng)x∈(1,e)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,∴F(x)在(1,e)上為增函數(shù)
∵l<m<n<e,∴
lnm
m
lnn
n

m
n
 
n
m
 
;
(Ⅲ)證明:由g(x)=x3-x-2求導(dǎo)可得g'(x)=3x2-1
令g'(x)=3x2-1=0,解得x=±
3
3

令g'(x)=3x2-1>0,解得x<-
3
3
或x>
3
3

又∵x∈(1,e)⊆(
3
3
,+∞),∴g(x)在(1,e)上為單調(diào)遞增函數(shù)
∵g(1)=-2,g(e)=e3-e-2,∴g(x)在x∈(1,e)的值域?yàn)椋?2,e3-e-2)
∵e3-e-2>-1+ln(-
1
a
),-2<ae+1,-2<a
∴(ae+1,-1+ln(-
1
a
)]⊆(-2,e3-e-2),
(a,-1+ln(-
1
a
)]⊆(-2,e3-e-2)
∴?x1∈(1,e),?x0∈(1,e),使得g(x0)=f(x1)成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值等問(wèn)題,考查不等式的證明,屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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34
的解集為
(-∞,-2)
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2x
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