Question

已知函數(shù)f（x）=4x³-3x²cosθ+

1

32

，其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ≤2π．
①當(dāng)cosθ=0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）是否有極值；
②要使函數(shù)f（x）的極小值小于零，求參數(shù)θ的取值范圍；
③若對(duì)②中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a）內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：①先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可判定是否有極值．
②先求出極值點(diǎn)，f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來確定極值，求出極小值，使函數(shù)f（x）的極小值小于零建立不等關(guān)系，求出參數(shù)θ的取值范圍即可．
③由②知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與 (

cosθ

2

，+∞)內(nèi)都是增函數(shù)，只需（2a-1，a）是區(qū)間（-∞，0）與 (

cosθ

2

，+∞)的子集即可．

解答：解：①當(dāng)cosθ=0時(shí) f(x)=4x3+

1

32

，則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
故無極值．
②f'（x）=12x²-6xcosθ，令f'（x）=0，
得 x1=0，x2=

cosθ

2

．
由 0≤θ≤

π

2

及

3π

2

＜θ＜2π，（只需考慮cosθ＞0的情況）．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）的符號(hào)及f（x）的變化情況如下表：

因此，函數(shù)f（x）在 x=

cosθ

2

處取得極小值 f(

cosθ

2

)，且 f(

cosθ

2

)=-

1

4

cos3θ+

1

32

．
要使 f(

cosθ

2

)＜0，必有 -

1

4

cos3θ+

1

32

＜0，
可得

1

2

＜cosθ＜ 1，
所以 0＜θ＜

π

3

或

5π

3

＜θ＜2π
當(dāng)

π

2

＜θ＜

3π

2

時(shí)，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）的符號(hào)及f（x）的變化情況如下表：

當(dāng)x=0是，函數(shù)有極小值

1

32

，不滿足題意．
所以 0＜θ＜

π

3

或

5π

3

＜θ＜2π
③由②知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與 (

cosθ

2

，+∞)內(nèi)都是增函數(shù)．
由題設(shè)，函數(shù)f（x）在（2a-1，a）內(nèi)是增函數(shù)，
則a須滿足不等式組

2a-1＜a a≤0

或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 cosθ

由（II），0＜θ＜

π

3

或

5π

3

＜θ＜2π時(shí)，

1

2

＜cosθ＜ 1，
要使不等式 2a-1≥

1

2

cosθ關(guān)于參數(shù)θ恒成立，必有 2a-1≥

1

2

．
綜上，解得a≤0或 a＞1
所以a的取值范圍是 （-∞，0]∪（1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力．