Question

一艘輪船在以每小時(shí)16公里速度沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西80km處，受影響的初始范圍是以臺(tái)風(fēng)中心為圓心半徑長(zhǎng)為7km的圓形區(qū)域，并且圓形區(qū)域的半徑正以以每小時(shí)10公里的速度擴(kuò)大，且圓形區(qū)域最大活動(dòng)半徑為47公里．已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北60km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？假設(shè)輪船在航行過程中，不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，則輪船離此時(shí)圓形區(qū)域邊緣最近距離是多少？

Answer 1

分析：本題利用解析法求解．我們以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，將受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域表示成所對(duì)應(yīng)的圓⊙的內(nèi)部，那么是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響的問題轉(zhuǎn)化為圓⊙與直線l有公共點(diǎn)問題解決即可；另外，欲求輪船離此時(shí)圓形區(qū)域邊緣最近距離，轉(zhuǎn)化為輪船離圓形區(qū)域邊緣的距離即可．

解答：解：我們以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（1分）
設(shè)臺(tái)風(fēng)活動(dòng)半徑r=7+10t（0≤t≤4），其中t為輪船移動(dòng)時(shí)間．單位：小時(shí)，這樣，受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓⊙的方程為x²+y²=（7+10t）²①（3分）
輪船航線所在直線l的方程為

x

80

+

y

60

=1，即3x+4y-240=0②（5分）
（i）如果圓⊙與直線l有公共點(diǎn)，則輪船受影響，需要改變航向；如果圓⊙與直線l無公共點(diǎn)，
則輪船不受影響，無需改變航向．
由于圓心O（0，0）到直線l的距離d=|OH|

|3×0+4×0-240|

32+42

=48，（7分）
由題意知圓形區(qū)域最大半徑為47公里”∵48＞47，所以直線l與同心圓形區(qū)域始終無公共點(diǎn)．
這說明輪船將不受臺(tái)風(fēng)影響，不需要改變航向．（8分）
（ii）如圖，設(shè)輪船航行起始點(diǎn)為A，輪船離原點(diǎn)最近點(diǎn)為H
從A到H移動(dòng)距離|AH|=

|OA|2-|AH|2

=

802-482

=64（公里）（9分）
輪船移動(dòng)時(shí)間t=

64

16

=4（小時(shí)），（10分）
此時(shí)受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域半徑r=7+10×4=47（公里），恰好為圓形區(qū)域最大活動(dòng)半徑（12分）
由平面幾何知識(shí)可知，此時(shí)最近距輪船離圓形區(qū)域邊緣為d-r=48-47=1（公里）
故輪船離圓形區(qū)域邊緣最近距離為1公里．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，考查解析幾何的基本思想方法和綜合應(yīng)用能力，創(chuàng)新意識(shí)．