Question

釣魚島自古是我國(guó)領(lǐng)土的一部分，最近，我海監(jiān)船50號(hào)在釣魚島O附近沿曲線APB巡視，以O(shè)為原點(diǎn)，正東方為x軸正半軸，向北方向?yàn)閥軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則曲線APB的解析式是f（x）=Asin（

π

40

x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的一部分，若最高點(diǎn)P在釣魚島北偏西30°離島

40

3

海里處，
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)我海監(jiān)船50號(hào)巡視到釣魚島正北B處時(shí)，發(fā)現(xiàn)船的南偏東60°方向10海里的C處有一艘日本漁船以10海里/時(shí)的速度向釣魚島駛?cè)ィ�我海監(jiān)船立即以10

3

海里/時(shí)速度前往攔截，問(wèn)我海監(jiān)船應(yīng)向什么方向行駛能最快攔住日本漁船？最快要多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得P（-

20

3

，

20 3

3

），從而可求得A，利用點(diǎn)P的坐標(biāo)與φ∈（0，π）可求得φ，從而可得f（x）的解析式；
（2）依題意，可求得B（0，10），△BOC為等邊三角形，利用余弦定理即可求得追擊時(shí)間及方向．

解答：解：（1）∵P（

40

3

cos（

π

2

+

π

6

），

40

3

sin（

π

2

+

π

6

）），即P（-

20

3

，

20 3

3

），
∴A=

20 3

3

，
∴

20 3

3

sin[

π

40

×（-

20

3

）+φ]=

20 3

3

，即sin（φ-

π

6

）=1，又0＜φ＜π，
∴φ-

π

6

=

π

2

，
∴φ=

2π

3

，
∴f（x）=

20 3

3

sin（

π

40

x+

2π

3

）…（5分）
（2）∵f（0）=

20 3

3

×sin

2π

3

=10，
∴B（0，10），又BC=10，
∴△BOC為等邊三角形，
∴∠BCO=60°，C（5

3

，5）．
設(shè)t小時(shí)后在D點(diǎn)追上，由余弦定理得：(10

3

t)2=100+100t²-2×10×10tcos60°，
解得：t=0.5，此時(shí)CD=5，BD=5

3

，∠CBD=30°
故應(yīng)沿B的南偏東30度方向攔截，最快0.5小時(shí)截住日本漁船．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查解三角形，突出考查函數(shù)解析式的確定與余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．