Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）為定義在R奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-2x²+4x+1，
（1）求：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的表達(dá)式；
（2）用分段函數(shù)寫出f（x）的表達(dá)式；
（3）若函數(shù)h（x）=f（x）-a恰有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍（只要求寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＜0則-x＞0，根據(jù)題意和奇函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的表達(dá)式；
（2）由奇函數(shù)的性質(zhì)求出f（0）=0，由（1）和分段函數(shù)表示出f（x）；
（3）利用配方法化簡(jiǎn)x＞0時(shí)的f（x），由（2）和二次函數(shù)的圖象畫出f（x）的圖象，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義和圖象，求出滿足題意的a的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-2x²+4x+1，
∴f（-x）=-2x²-4x+1，
∵f（x）為定義在R上是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=2x²+4x-1，…（6分）
（2）∵f（x）為定義在R上是奇函數(shù)，
∴f（0）=-f（-0），則f（0）=0，
由（1）可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+4x+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{2{x}^{2}+4x-1，x＜0}\end{array}\right.$…（10分）
（3）由函數(shù)h（x）=f（x）-a=0得，f（x）=a，
由條件得，當(dāng)x＞0時(shí)，
f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3，
由（2）畫出函數(shù)f（x）和y=a的圖象，如圖所示：
∵函數(shù)h（x）=f（x）-a恰有三個(gè)零點(diǎn)，
∴由圖得，-3＜a＜-1或a=0或1＜a＜3，
∴a的取值范圍是
{a|-3＜a＜-1或a=0或1＜a＜3}…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用：函數(shù)的解析式，函數(shù)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想．